재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 15 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

중공축이 토크 750 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

T = 750 N·md_i/d_o = 0.7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 300 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mw = 5 kN/m, 0부터 5 m까지x = 2 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 50 kN 위치 2 mw = 12 kN/m, 0부터 6 m까지x = 2 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

200 mm × 150 mm 판에 폭 30 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 60 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 150 mm절취부: 30 × 40 mm구멍 중심: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = −40 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 110 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = −20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 지점 A에서 a = 1 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δ_P을(를) 구하시오.

P = 6 kNa = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.보의 처짐어려움

폭 100 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/300을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 100 mm

h_req = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.4775 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 15·1000/314.2 = 47.75 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 47.75/100000 = 0.0004775 = 477.5 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0004775·1000 mm = 0.4775 mm

답

δ = 0.4775 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 43.48 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·706.9/300 = 164934 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·164934/322013 = 30732 N

응력

σ₂ = 30732/706.9 = 43.48 MPa (압축)

답

σ₂ = 43.48 MPa

3.축의 비틀림

답: d_o = 39.76 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·80·0.7599)) = 39.76 mm

d_i = 0.7·39.76 = 27.83 mm

답

d_o = 39.76 mm

속이 찬 축이라면 d = 36.28 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: d = 36.5 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·50)) = 36.5 mm

답

d = 36.5 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 15 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2.5

R_B = 62.5/5 = 12.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12.5 = 12.5 kN

x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 12.5·2 − 5·2·1 = 15 kN·m

답

M_x = 15 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 114.7 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2 + 12·6·3

R_B = 316/6 = 52.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 122 − 52.67 = 69.33 kN

x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 69.33·2 − 12·2·1 = 114.7 kN·m

답

M_x = 114.7 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 17.28 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

웨브: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·175 + 1920·80)/7320 = 150.1 mm

평행축 정리

플랜지: 180·30³/12 + 5400·(175 − 150.1)² = 3.758 × 10⁶ mm⁴

웨브: 12·160³/12 + 1920·(80 − 150.1)² = 1.353 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.758 × 10⁶ + 1.353 × 10⁷ = 1.728 × 10⁷ mm⁴ = 17.28 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 17.28 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 55.81 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (30000·75 − 1200·60)/(30000 − 1200) = 75.63 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·150³/12 + 30000·−0.625² = 56.26 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

30·40³/12 + 1200·−15.63² = 0.453 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 55.81 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 55.81 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 77.66 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 115 MPa, R = √((−5)² + (−40)²) = 40.31 MPa

σ₁ = 155.3 MPa, σ₂ = 74.69 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80.62, 155.3, 74.69)/2 = 77.66 MPa

답

τ_abs = 77.66 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = 53.3 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τ_θ = −−20·0.5 + 50·0.866 = 53.3 MPa

답

τ_θ = 53.3 MPa

11.보의 처짐

답: δ_P = 48.48 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 6000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

하중 아래의 처짐

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·1000²·4000²/(3·1.32 × 10¹¹·5000) = 48.48 mm

답

δ_P = 48.48 mm

12.보의 처짐

답: h_req = 151.1 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·10) = 2.876 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·2.876 × 10⁷/100)^1/3 = 151.1 mm

답

h_req = 151.1 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 2.211 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·5000 = 10000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/10000² = 2211 N = 2.211 kN

답

P_cr = 2.211 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 69.09 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

답

σ_cr = 69.09 MPa

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