재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 150 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 20 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 75 mm, 안지름 56 mm, 길이 1.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 60 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 1.5 m 떨어진 C에 토크 500 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 60 mmT₀ = 500 N·ma = 3 mb = 1.5 m

T_A = N·m

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 0.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mw = 3 kN/m, 0부터 6 m까지x = 0.5 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mP = 15 kN 위치 2 mw = 2 kN/m, 0부터 8 m까지x = 2.5 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

150 mm × 300 mm 판에 폭 30 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 120 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 150 mmh = 300 mm절취부: 30 × 20 mm구멍 중심: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 420 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 I_req을(를) 구하시오.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (강철)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 55 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 55 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1317 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·8482 = 9.111 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 150000·800/9.111 × 10⁸ = 0.1317 mm

답

δ = 0.1317 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 8.369 MPa

강성

k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 20000·98960/334580 = 5915 N

응력

σ₂ = 5915/706.9 = 8.369 MPa (압축)

답

σ₂ = 8.369 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 0.386 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴

비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(26000·2.141 × 10⁶) = 0.006737 rad

φ = 0.006737·180/π = 0.386°

답

φ = 0.386°

4.축의 비틀림

답: T_A = 166.7 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·1.5/4.5 = 166.7 N·m

T_B = 500·3/4.5 = 333.3 N·m

답

T_A = 166.7 N·m

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 4.125 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

x = 0.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 9·0.5 − 3·0.5·0.25 = 4.125 kN·m

답

M_x = 4.125 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 34.38 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, 작용점 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·2 + 2·8·4

R_B = 94/8 = 11.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 11.75 = 19.25 kN

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 19.25·2.5 − 15·(2.5 − 2) − 2·2.5·1.25 = 34.38 kN·m

답

M_x = 34.38 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 17.19 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

웨브: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·185 + 2160·90)/5160 = 145.2 mm

평행축 정리

플랜지: 300·10³/12 + 3000·(185 − 145.2)² = 4.769 × 10⁶ mm⁴

웨브: 12·180³/12 + 2160·(90 − 145.2)² = 1.242 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.769 × 10⁶ + 1.242 × 10⁷ = 1.719 × 10⁷ mm⁴ = 17.19 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 17.19 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 336.9 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (45000·150 − 600·120)/(45000 − 600) = 150.4 mm

ȳ에 대한 전체 판

150·300³/12 + 45000·−0.4054² = 337.5 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

30·20³/12 + 600·−30.41² = 0.5747 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 336.9 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 336.9 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 50 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = −10 MPa, R = √(40² + 30²) = 50 MPa

σ₁ = 40 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 40, 60)/2 = 50 MPa

답

τ_abs = 50 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: n = 3.601

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 85 MPa, R = 46.1 MPa

σ₁ = 131.1 MPa, σ₂ = 38.9 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(131.1² − 131.1·38.9 + 38.9²) = 116.6 MPa

n = 420/116.6 = 3.601

답

n = 3.601

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: δ_max = 3.401 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 3.401 mm

답

δ_max = 3.401 mm

12.보의 처짐

답: I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·200000·22.22) = 1.8 × 10⁸ mm⁴

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

답

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 13.89 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·5000 = 10000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/10000² = 13891 N = 13.89 kN

답

P_cr = 13.89 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 46.16 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 46.16 mm

답

d = 46.16 mm

확인: 세장비 KL/r는 173.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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