재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 300 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 500 N·md = 25 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

중공축이 1800 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0.6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 1 m인 단면에서 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 70 kN 위치 5 mw = 5 kN/m, 0부터 5 m까지x = 1 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

25 kN @ 6 m45 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 130 mm, 두께 10 mm이고, 전체 높이는 500 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

B = 130 mmH = 500 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

120 mm × 150 mm 판에 폭 30 mm, 높이 30 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 90 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 150 mm절취부: 30 × 30 mm구멍 중심: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = −30 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 500 mm, 벽 두께 12 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 50°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 500 mmt = 12 mmp = 2.5 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 19 kNw = 12 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 46.03 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·2827) = 1.516 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.2/4.345 × 10⁻⁶ = 46028 N = 46.03 kN

답

P = 46.03 kN

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 16.54 MPa

강성

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 80000·343612/846267 = 32483 N

응력

σ₂ = 32483/1963 = 16.54 MPa (압축)

답

σ₂ = 16.54 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 18.68 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(80000·38350) = 0.3259 rad

φ = 0.3259·180/π = 18.68°

답

φ = 18.68°

4.축의 비틀림

답: d_o = 19.8 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 15000/188.5 = 79.58 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 79.58 N·m = 79577 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·79577/(π·60·0.8704)) = 19.8 mm

d_i = 0.6·19.8 = 11.88 mm

답

d_o = 19.8 mm

속이 찬 축이라면 d = 18.9 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = −320 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −70·4 = −280 kN·m

w: −5·4²/2 = −40 kN·m

M_x = −280 − 40 = −320 kN·m

답

M_x = −320 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 10 kN, R₂ = 60 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 10, M_C = 20, M_D = −15, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

답

표시점 E: M_E = −50 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 248.2 × 10⁶ mm⁴

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 500 − 2·10 = 480 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·500³ − 120·480³)/12

I_x = 2.482 × 10⁸ mm⁴ = 248.2 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 248.2 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 33.47 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (18000·75 − 900·90)/(18000 − 900) = 74.21 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·150³/12 + 18000·0.7895² = 33.76 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

30·30³/12 + 900·15.79² = 0.2919 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 33.47 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 33.47 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 80.78 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 15 MPa, R = √((−75)² + (−30)²) = 80.78 MPa

σ₁ = 95.78 MPa, σ₂ = −65.78 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(161.6, 95.78, 65.78)/2 = 80.78 MPa

답

τ_abs = 80.78 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 36.8 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2.5·250/12 = 52.08 MPa

σ_a = pr/(2t) = 26.04 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 26.04·sin²50° + 52.08·cos²50° = 36.8 MPa

답

σ_n = 36.8 MPa

11.보의 처짐

답: δ_max = 19.05 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 19.05 mm

답

δ_max = 19.05 mm

12.보의 처짐

답: δ_max = 3.575 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 19000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(48EI) = 19000·1500³/(48·5.95 × 10¹¹) = 2.245 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 1.329 mm

더하기

δ_max = 2.245 + 1.329 = 3.575 mm

답

δ_max = 3.575 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 34.27 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/6000² = 34269 N = 34.27 kN

답

P_cr = 34.27 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 7.896 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa

답

σ_cr = 7.896 MPa

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