재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 16 mm황동1.5 mP = 85 kN

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 85 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 30 mm황동0.5 mØ 12 mm구리1.5 mP = 95 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 95 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
T = 750 N·md = 30 mmL = 0.5 mφ = ?

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1450 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 4 kN/mP = 75 kNAB단면2 m1.5 m0.5 m

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 3.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 2 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 75 kN 위치 3.5 mw = 4 kN/m, 0부터 4 m까지x = 2 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
12 kN/m35 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

35 kN @ 0 m45 kN @ 6 m12 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
240130t = 8ȳ = ?치수 단위: mm

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 240 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 130 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 8 mm이다. 밑변에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.

b = 240 mmh = 130 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2003022016x정모멘트 M치수 단위: mm

주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 50 MPa, 압축 100 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.

bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 220 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 160σy​ = 40τxy​ = −20MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 160 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​τxy​축의 윗면

지름 60 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 750 N·m와(과) 토크 500 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.

d = 60 mmM = 750 N·mT = 500 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
w = 5 kN/mδL = 6 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
P = 20 kNAB1.5 m1.5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 3 mP = 20 kN 위치 1.5 m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2.5 m25 × 100 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 2 md = 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 6.341 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 85·1000/201.1 = 422.8 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 422.8/100000 = 0.004228 = 4228 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.004228·1500 mm = 6.341 mm

답

δ = 6.341 mm
2.축 응력과 변형률

답: δ = 11.44 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 134.4 MPa
σ2 = 840 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 134.4·500/100000 = 0.672 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 840·1500/117000 = 10.77 mm
δ = δ1 + δ2 = 11.44 mm

답

δ = 11.44 mm
3.축의 비틀림

답: φ = 10.39 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·79522) = 0.1814 rad
φ = 0.1814·180/π = 10.39°

답

φ = 10.39°
4.축의 비틀림

답: d = 20.32 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·131714/(π·80)) = 20.32 mm

답

d = 20.32 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = −120.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −75·1.5 = −112.5 kN·m
w: −4·2²/2 = −8 kN·m
Mx = −112.5 − 8 = −120.5 kN·m

답

Mx = −120.5 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 5 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 56.5 kN, R2 = 71.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −35, MC = −19.5, MD = −16, ME = −24.5, MF = −45 kN·m, MG = 0

답

표시점 F: MF = −45 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: ȳ = 36.77 mm

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A1 = 240·8 = 1920 mm², y1 = 4 mm
두 다리: A2 = 2·8·122 = 1952 mm², y2 = 8 + 122/2 = 69 mm

도심

ȳ = (1920·4 + 1952·69)/3872 = 36.77 mm

답

ȳ = 36.77 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Mallow = 13.06 kN·m

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

도심

ȳ = (6000·235 + 3520·110)/9520 = 188.8 mm
윗면 가장자리: c = 250 − 188.8 = 61.22 mm

단면 2차 모멘트

I = 200·30³/12 + 6000·46.22² + 16·220³/12 + 3520·78.78² = 4.931 × 10⁷ mm⁴

각 가장자리가 허용하는 모멘트

정모멘트: 위는 압축, 아래는 인장입니다.

윗면 가장자리: M = 100·4.931 × 10⁷/61.22 = 80.55 kN·m
아랫면 가장자리: M = 50·4.931 × 10⁷/188.8 = 13.06 kN·m

지배 값

Mallow = min = 13.06 kN·m (아랫면 가장자리)

답

Mallow = 13.06 kN·m
9.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 63.25 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((160 − 40)/2)² + −20²) = 63.25 MPa

답

τmax = 63.25 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σ1 = 38.94 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·60³) = 35.37 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa
στxyCσ1​σ2​

모어 원

C = σ/2 = 17.68 MPa
R = √(17.68² + 11.79²) = 21.25 MPa
σ1 = C + R = 38.94 MPa
σ2 = C − R = −3.569 MPa

답

σ1 = 38.94 MPa
11.보의 처짐

답: δmax = 21.15 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 21.15 mm

답

δmax = 21.15 mm
12.보의 처짐

답: RB = 6.25 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·20/16 = 6.25 kN

답

RB = 6.25 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 29.37 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1750² = 29374 N = 29.37 kN

답

Pcr = 29.37 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 79.31 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/15 = 93.33

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93.33² = 79.31 MPa

답

σcr = 79.31 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials