재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 200 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 1 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 1 m이다. 자유단 C에 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 1500 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보의 A에서 x = 1 m인 곳에 시계 방향 우력 M₀ = 15 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 왼쪽의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mM₀ = 15 kN·m 시계 방향, 위치 1 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mP = 40 kN 위치 5 mw = 5 kN/m, 0부터 8 m까지x = 5 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 280 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 150 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 14 mm이다. 밑변에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.

b = 280 mmh = 150 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

100 mm × 200 mm 판에 폭 50 mm, 높이 30 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 80 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 200 mm절취부: 50 × 30 mm구멍 중심: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 0 MPa이다. 최대 주응력이 115 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 80 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 1200 mm, 벽 두께 5 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 40°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

단순보의 3등분점(각 지점에서 L/3)에 같은 집중 하중 P 두 개가 작용한다. 중첩을 이용해 경간 중앙의 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 19 kNL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 14.5 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.2/1.379 × 10⁻⁵ = 14500 N = 14.5 kN

답

P = 14.5 kN

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 37.18 MPa

강성

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·691150/887500 = 46726 N

응력

σ₂ = 46726/1257 = 37.18 MPa (압축)

답

σ₂ = 37.18 MPa

3.축의 비틀림

답: φ_C = 4.961 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·1000/(80000·613592) = 0.005093 rad

φ_BC = 250000·1000/(80000·38350) = 0.08149 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.005093 + 0.08149 = 0.08658 rad = 4.961°

답

φ_C = 4.961°

4.축의 비틀림

답: d = 15.94 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·40)) = 15.94 mm

답

d = 15.94 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = −1.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: R_B·L − M₀ = 0. 연직 평형: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/10 = 1.5 kN (위쪽)

R_A = −R_B = −1.5 kN (아래쪽)

우력 바로 왼쪽에서 자른다

왼쪽 부분에는 R_A만 포함됩니다.

M_x = R_A·a = −1.5·1 = −1.5 kN·m

답

M_x = −1.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 112.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, 작용점 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·5 + 5·8·4

R_B = 360/8 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 45 = 35 kN

x = 5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 35·5 − 5·5·2.5 = 112.5 kN·m

답

M_x = 112.5 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: ȳ = 43.96 mm

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A₁ = 280·14 = 3920 mm², y₁ = 7 mm

두 다리: A₂ = 2·14·136 = 3808 mm², y₂ = 14 + 136/2 = 82 mm

도심

ȳ = (3920·7 + 3808·82)/7728 = 43.96 mm

답

ȳ = 43.96 mm

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 65.91 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (20000·100 − 1500·80)/(20000 − 1500) = 101.6 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·200³/12 + 20000·−1.622² = 66.72 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

50·30³/12 + 1500·−21.62² = 0.8137 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 65.91 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 65.91 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 63.44 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (80 + 0)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 40 = 75 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 40²) = 63.44 MPa

답

τ_xy = 63.44 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 95.21 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1·600/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 60·sin²40° + 120·cos²40° = 95.21 MPa

답

σ_n = 95.21 MPa

11.보의 처짐

답: δ_max = 1.275 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.275 mm

답

δ_max = 1.275 mm

12.보의 처짐

답: δ_max = 33.45 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 19000 N, L = 5000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

L/3의 하중 하나

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 16.73 mm

두 하중 더하기

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 33.45 mm

답

δ_max = 33.45 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 18.42 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1000 = 1000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1000² = 18423 N = 18.42 kN

답

P_cr = 18.42 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 49.35 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/6.25 = 200

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

답

σ_cr = 49.35 MPa

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