재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
100 kNØ3070 GPaØ100/60600 mmδ = ?

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
30 kN12400 mm200 mmØ20Ø40σ2​ = ?

강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 1500 N·m

중공축이 토크 1500 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 1500 N·mdi/do = 0.7τallow = 80 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 50 mm, di​ = 38 mm

속이 빈 축이 750 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 750 rpmdo = 50 mmdi = 38 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
6 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

45 kN @ 3 m6 kN/m, 1–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 5 kN/mP = 60 kNAB단면5.5 m3.5 m1 m

지점 A에서 x = 5.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mP = 60 kN 위치 9 mw = 5 kN/m, 0부터 10 m까지x = 5.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
2001012014x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2001028018xM = 40 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.

bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 280 mmM = 40 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −30σy​ = 110τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = −30 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 140σy​ = −50τxy​ = −10MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 140 MPaσy = −50 MPaτxy = −10 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
P = 3 kNABδ1 m4 m

단순보의 지점 A에서 a = 1 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 3 kNa = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
P = 6 kNABδ4 m2 m

단순보의 지점 B에서 b = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 6 kNb = 2 mL = 6 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2 md = 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 3 md = 30 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1216 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·5027 = 4.932 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 100000·600/4.932 × 10⁸ = 0.1216 mm

답

δ = 0.1216 mm
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 19.1 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 30000·628319/785398 = 24000 N

응력

σ2 = 24000/1257 = 19.1 MPa (압축)

답

σ2 = 19.1 MPa
3.축의 비틀림

답: do = 50.09 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·80·0.7599)) = 50.09 mm
di = 0.7·50.09 = 35.06 mm

답

do = 50.09 mm

속이 찬 축이라면 d = 45.71 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: τmax = 58.39 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 954930·25/408885 = 58.39 MPa

답

τmax = 58.39 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 3 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 35 kN, R2 = 40 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 35, MC = 67, MD = 93 kN·m, ME = 68, MF = 37, MG = 0

답

표시점 D: MD = 93 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 94.88 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·9 + 5·10·5
RB = 790/10 = 79 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 79 = 31 kN
w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​ = 31RB​ = 79단면5.5 m3.5 m1 m

x = 5.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 31·5.5 − 5·5.5·2.75 = 94.88 kN·m

답

Mx = 94.88 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 5.89 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
웨브: Aw = 14·120 = 1680 mm², yw = 120/2 = 60 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·125 + 1680·60)/3680 = 95.33 mm

평행축 정리

플랜지: 200·10³/12 + 2000·(125 − 95.33)² = 1.778 × 10⁶ mm⁴
웨브: 14·120³/12 + 1680·(60 − 95.33)² = 4.113 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.778 × 10⁶ + 4.113 × 10⁶ = 5.89 × 10⁶ mm⁴ = 5.89 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 5.89 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ위 = 69.03 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
웨브: Aw = 18·280 = 5040 mm², yw = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·285 + 5040·140)/7040 = 181.2 mm

평행축 정리

플랜지: 200·10³/12 + 2000·(285 − 181.2)² = 2.157 × 10⁷ mm⁴
웨브: 18·280³/12 + 5040·(140 − 181.2)² = 4.148 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.157 × 10⁷ + 4.148 × 10⁷ = 6.305 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 290 − 181.2 = 108.8 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·108.8/6.305 × 10⁷ = 69.03 MPa

답

σ위 = 69.03 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 76.16 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((−30 − 110)/2)² + 30²) = 76.16 MPa

답

τmax = 76.16 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 122.3 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 45 + 95·0.866 + −10·0.5 = 122.3 MPa

답

σθ = 122.3 MPa
11.보의 처짐

답: δP = 12.65 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 3000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa²b²/(3EIL) = 3000·1000²·4000²/(3·2.53 × 10¹¹·5000) = 12.65 mm

답

δP = 12.65 mm
12.보의 처짐

답: δmax = 58.65 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 6000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

최댓값의 위치

더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

최대 처짐

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 58.65 mm

답

δmax = 58.65 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 309 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1400² = 308975 N = 309 kN

답

Pcr = 309 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 3.084 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/7.5 = 800

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3.084 MPa

답

σcr = 3.084 MPa

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