축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 110 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 30 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1 m, B에서 0.5 m 떨어진 C에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 단면 C의 회전각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
d = 30 mmT0 = 750 N·ma = 1 mb = 0.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.전단력과 휨 모멘트보통
단순보의 A에서 x = 2 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 15 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 왼쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mM0 = 15 kN·m 시계 방향, 위치 2 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. A에서 지점 사이의 반곡점(휨 모멘트의 부호가 바뀌는 점)까지의 거리 xc을(를) 구하시오.
L = 8 mw = 6 kN/m, 0부터 8 m까지x = 0과 x = 6 m에 지점
xc = m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 190 mm, 두께 20 mm이고, 전체 높이는 260 mm, 웨브 두께는 12 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σmax을(를) 구하시오.
B = 190 mmH = 260 mmtf = 20 mmtw = 12 mmM = 40 kN·m
σmax = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = −50 MPa이다. 최대 주응력이 155 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 140 MPaσy = −50 MPaσ1 = 155 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 25° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 140 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (강철)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 5 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 5 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: P = 26.46 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3.316 × 10⁻⁶ mm/N
하중
P = 0.2/7.56 × 10⁻⁶ = 26456 N = 26.46 kN
답
P = 26.46 kN
2.축 응력과 변형률
답: σmax = 972.6 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 87.54 MPa
σ2 = 972.6 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 972.6 MPa
답
σmax = 972.6 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 6.755 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·79522) = 0.1179 rad
φ = 0.1179·180/π = 6.755°
답
φ = 6.755°
4.축의 비틀림
답: φC = 2.252 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0.5/1.5 = 250 N·m
TB = 750·1/1.5 = 500 N·m
C의 회전각
구간 AC를 쓰세요. A에서 고정되어 있고 TA를 받습니다.
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 250000·1000/(80000·79522) = 0.0393 rad = 2.252°
답
φC = 2.252°
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −7.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.
지점 반력
A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 15/4 = 3.75 kN (위쪽)
RA = −RB = −3.75 kN (아래쪽)
우력 바로 왼쪽에서 자른다
왼쪽 부분에는 RA만 포함됩니다.
Mx = RA·a = −3.75·2 = −7.5 kN·m
답
Mx = −7.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: xc = 5.333 m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·8·4
RB = 192/6 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 32 = 16 kN
모멘트 0
지점 사이에서 M(x) = RA·x − w·x²/2. x = 0을 제외하면 x = 2RA/w에서 0이 됩니다.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·16/6 = 5.333 m
답
xc = 5.333 m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 11.98 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 200·30 = 6000 mm², yf = 120 + 30/2 = 135 mm
웨브: Aw = 18·120 = 2160 mm², yw = 120/2 = 60 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·135 + 2160·60)/8160 = 115.1 mm
평행축 정리
플랜지: 200·30³/12 + 6000·(135 − 115.1)² = 2.815 × 10⁶ mm⁴
웨브: 18·120³/12 + 2160·(60 − 115.1)² = 9.161 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.815 × 10⁶ + 9.161 × 10⁶ = 1.198 × 10⁷ mm⁴ = 11.98 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 11.98 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σmax = 43.21 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.
hw = 260 − 2·20 = 220 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·260³ − 178·220³)/12
Ix = 1.203 × 10⁸ mm⁴
휨 응력
y = 130 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·130/1.203 × 10⁸ = 43.21 MPa
답
σmax = 43.21 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 55.45 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (140 + (−50))/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 155 − 45 = 110 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(110² − 95²) = 55.45 MPa
답
τxy = 55.45 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 119.3 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 125 + 15·0.6428 + −20·0.766 = 119.3 MPa
답
σθ = 119.3 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 62.89 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 6 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 62.89 mm
답
δmax = 62.89 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 6.328 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·3000⁴/(384·200000·8.333) = 6.328 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6.328 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 6.328 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 77.24 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77.24 kN
답
Pcr = 77.24 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 38.96 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 38.96 mm
답
d = 38.96 mm
확인: 세장비 KL/r는 256.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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