축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 95 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 160 MPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa, 허용응력 70 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 400 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 3000 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 20 kWN = 3000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 1.5 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 2 mP = 30 kN 위치 2 mw = 3 kN/m, 0부터 2 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 40 kN 위치 5 mw = 6 kN/m, 0부터 8 m까지x = 5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 100 mm, 두께 22 mm이고, 전체 높이는 360 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 휨의 탄성 단면 계수 Sx을(를) 구하시오.
B = 100 mmH = 360 mmtf = 22 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
150 mm × 200 mm 판에 폭 80 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 70 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 200 mm절취부: 80 × 20 mm구멍 중심: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa이다. 최대 주응력이 0 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = −20 MPaσy = −40 MPaσ1 = 0 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
지름 50 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 90 kN와(과) 토크 1500 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 50 mmF = 90 kNT = 1500 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (강철)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 3024 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 95·1000/314.2 = 302.4 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 302.4/100000 = 0.003024 = 3024 µε
답
ε = 3024 µε
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 683.7 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·8482 = 1.074 × 10⁹ N
지배 변형률
ε = min(0.0008, 0.0006364) = 0.0006364 (청동)
최대 하중
Pmax = 0.0006364·1.074 × 10⁹ = 683725 N = 683.7 kN
답
Pmax = 683.7 kN
3.축의 비틀림
답: φ = 9.006 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(80000·79522) = 0.1572 rad
φ = 0.1572·180/π = 9.006°
답
φ = 9.006°
4.축의 비틀림
답: d = 18.65 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 20000/314.2 = 63.66 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·50)) = 18.65 mm
답
d = 18.65 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −15.38 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −30·0.5 = −15 kN·m
w: −3·0.5²/2 = −0.375 kN·m
Mx = −15 − 0.375 = −15.38 kN·m
답
Mx = −15.38 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 120 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·5 + 6·8·4
RB = 392/8 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 88 − 49 = 39 kN
x = 5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 39·5 − 6·5·2.5 = 120 kN·m
답
Mx = 120 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Sx = 845.2 × 10³ mm³
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.
hw = 360 − 2·22 = 316 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (100·360³ − 90·316³)/12
Ix = 1.521 × 10⁸ mm⁴
단면 계수
c = H/2 = 180 mm
Sx = I/c = 1.521 × 10⁸/180
Sx = 845229 mm³ = 845.2 × 10³ mm³
답
Sx = 845.2 × 10³ mm³
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 98.43 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (30000·100 − 1600·70)/(30000 − 1600) = 101.7 mm
ȳ에 대한 전체 판
150·200³/12 + 30000·−1.69² = 100.1 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
80·20³/12 + 1600·−31.69² = 1.66 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 98.43 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 98.43 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 28.28 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (−20 + (−40))/2 = −30 MPa
R = σ1 − C = 0 − (−30) = 30 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 10²) = 28.28 MPa
답
τxy = 28.28 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 88.19 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = 90000/(π·50²/4) = 90000/1963 = 45.84 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61.12 MPa
모어 원
C = σ/2 = 22.92 MPa
R = √(22.92² + 61.12²) = 65.27 MPa
σ1 = C + R = 88.19 MPa
σ2 = C − R = −42.35 MPa
답
σ1 = 88.19 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 1.06 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 1.06 mm
답
δmax = 1.06 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 66.58 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·2500⁴/(384·11000·6.944) = 6.658 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 66.58 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 66.58 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 102.5 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3500² = 102511 N = 102.5 kN
답
Pcr = 102.5 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 4.371 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/6.25 = 672
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/672² = 4.371 MPa
답
σcr = 4.371 MPa
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