재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
250 kNØ30120 GPaØ80/60800 mmδ = ?

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 250 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
40 kN12300 mm500 mmØ20Ø60σ2​ = ?

강철 구간(지름 20 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 40 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mφ = ?

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 50 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 500 N·mABC1.2 m2.5 m

지름 50 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.2 m 떨어진 B에 토크 250 N·m이(가), 거기서 2.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 50 mmTB = 250 N·mTC = 500 N·mAB = 1.2 mBC = 2.5 m
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 30 kNP2​ = 15 kNABC3 m3 m1.5 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 지점 B 바로 왼쪽의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 7.5 mP1 = 30 kN 위치 3 mP2 = 15 kN 위치 7.5 mx = 0과 x = 6 m에 지점
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
6 kN/m45 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

45 kN @ 12 m15 kN @ 2 m6 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
2601024010x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2201510016xM = 20 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 20 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.

bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 100 mmM = 20 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 90σy​ = −50τxy​ = 60MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 90 MPaσy = −50 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 110σy​ = 80τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 25° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 110 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 4 kN/mABθ8 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (강철)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.보의 처짐어려움
w = 4 kN/mAB6 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 6 mw = 4 kN/m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 6 md = 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 65 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 65 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 65 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.4935 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 250000·800/4.053 × 10⁸ = 0.4935 mm

답

δ = 0.4935 mm
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 10.81 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 120000·2827/500 = 678584 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 40000·678584/888024 = 30566 N

응력

σ2 = 30566/2827 = 10.81 MPa (압축)

답

σ2 = 10.81 MPa
3.축의 비틀림

답: φ = 9.864 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(26000·251327) = 0.1722 rad
φ = 0.1722·180/π = 9.864°

답

φ = 9.864°
4.축의 비틀림

답: τmax = 30.56 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

내부 토크

TC의 방향을 양으로 잡습니다.

TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 250 = 750 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|max = 750 N·m
τmax = 16·750000/(π·50³) = 30.56 MPa

답

τmax = 30.56 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = −18.75 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣMA = 0: RB·6 = 30·3 + 15·7.5
RB = 202.5/6 = 33.75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 33.75 = 11.25 kN

B 바로 왼쪽에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

Vx = RA − P1 = 11.25 − 30 = −18.75 kN

답

Vx = −18.75 kN
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 12.75 kN, R2 = 95.25 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 13.5, MC = −27, MD = −91.5, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0

답

표시점 E: ME = −180 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 31.04 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm
웨브: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·245 + 2400·120)/5000 = 185 mm

평행축 정리

플랜지: 260·10³/12 + 2600·(245 − 185)² = 9.382 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·240³/12 + 2400·(120 − 185)² = 2.166 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.382 × 10⁶ + 2.166 × 10⁷ = 3.104 × 10⁷ mm⁴ = 31.04 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 31.04 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ위 = 106 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 100 + 15/2 = 107.5 mm
웨브: Aw = 16·100 = 1600 mm², yw = 100/2 = 50 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·107.5 + 1600·50)/4900 = 88.72 mm

평행축 정리

플랜지: 220·15³/12 + 3300·(107.5 − 88.72)² = 1.225 × 10⁶ mm⁴
웨브: 16·100³/12 + 1600·(50 − 88.72)² = 3.733 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.225 × 10⁶ + 3.733 × 10⁶ = 4.958 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 115 − 88.72 = 26.28 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·26.28/4.958 × 10⁶ = 106 MPa

답

σ위 = 106 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 92.2 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((90 − −50)/2)² + 60²) = 92.2 MPa

답

τmax = 92.2 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 127.6 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 95 + 15·0.6428 + 30·0.766 = 127.6 MPa

답

σθ = 127.6 MPa
11.보의 처짐

답: θA = 0.002667 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

끝 처짐각

θA = wL³/(24EI) = 4·8000³/(24·3.2 × 10¹³) = 0.002667 rad

답

θA = 0.002667 rad

0.1528°입니다.

12.보의 처짐

답: RB = 9 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·4·6/8 = 9 kN

답

RB = 9 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 8.721 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·6000 = 12000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/12000² = 8721 N = 8.721 kN

답

Pcr = 8.721 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 62.33 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 62.33 mm

답

d = 62.33 mm

확인: 세장비 KL/r는 192.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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