축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 80 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 10 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1800 rpm에서 10 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 10 kWN = 1800 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mw = 8 kN/m, 0부터 5 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 5 mw = 16 kN/m, 0부터 3 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 50 MPa, 압축 150 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 부(負) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오(크기로 답하시오).
bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 160 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 120 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 20° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = −30 MPaσy = −30 MPaτxy = 20 MPaθ = 20°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
w = 4 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 115 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 115 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 0.1072 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·3063 = 4.477 × 10⁸ N
줄어든 길이
δ = 80000·600/4.477 × 10⁸ = 0.1072 mm
답
δ = 0.1072 mm
2.축 응력과 변형률
답: σmax = 88.42 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 14.15 MPa
σ2 = 88.42 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 88.42 MPa
답
σmax = 88.42 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 7.183 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(26000·613592) = 0.1254 rad
φ = 0.1254·180/π = 7.183°
답
φ = 7.183°
4.축의 비틀림
답: d = 18.9 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 10000/188.5 = 53.05 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·53052/(π·40)) = 18.9 mm
답
d = 18.9 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 25 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·5·2.5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 20·2.5 − 8·2.5·1.25 = 25 kN·m
답
Mx = 25 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 35.28 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 16·3 = 48 kN, 작용점 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 16·3·1.5
RB = 72/5 = 14.4 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 14.4 = 33.6 kN
전단력 0
전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 33.6/16 = 2.1 m
최대 모멘트
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 33.6·2.1 − 16·2.1²/2 = 35.28 kN·m
답
Mmax = 35.28 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 46.66 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 120·30 = 3600 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
웨브: Aw = 10·260 = 2600 mm², yw = 260/2 = 130 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·275 + 2600·130)/6200 = 214.2 mm
평행축 정리
플랜지: 120·30³/12 + 3600·(275 − 214.2)² = 1.358 × 10⁷ mm⁴
웨브: 10·260³/12 + 2600·(130 − 214.2)² = 3.308 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.358 × 10⁷ + 3.308 × 10⁷ = 4.666 × 10⁷ mm⁴ = 46.66 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 46.66 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Mallow = 19.53 kN·m
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
도심
ȳ = (6500·172.5 + 2240·80)/8740 = 148.8 mm
윗면 가장자리: c = 185 − 148.8 = 36.21 mm
단면 2차 모멘트
I = 260·25³/12 + 6500·23.71² + 14·160³/12 + 2240·68.79² = 1.937 × 10⁷ mm⁴
각 가장자리가 허용하는 모멘트
부모멘트: 위는 인장, 아래는 압축입니다.
윗면 가장자리: M = 50·1.937 × 10⁷/36.21 = 26.75 kN·m
아랫면 가장자리: M = 150·1.937 × 10⁷/148.8 = 19.53 kN·m
지배 값
Mallow = min = 19.53 kN·m (아랫면 가장자리)
답
Mallow = 19.53 kN·m
9.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 31.62 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((120 − 100)/2)² + 30²) = 31.62 MPa
답
τmax = 31.62 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 15.32 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −0·0.6428 + 20·0.766 = 15.32 MPa
답
τθ = 15.32 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 77.2 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
처짐
δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·2.53 × 10¹¹) = 77.2 mm
답
δ = 77.2 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 43.95 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·5000⁴/(384·200000·13.89) = 4.395 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 43.95 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 43.95 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 206.3 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1750² = 206255 N = 206.3 kN
답
Pcr = 206.3 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 68.68 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·115000 = 345000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 68.68 mm
답
d = 68.68 mm
확인: 세장비 KL/r는 145.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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