재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 25 mm알루미늄1.5 mP = 65 kN

축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 65 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm강철2 mØ 16 mm강철1.5 mP = 15 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 15 kN구간 1: Ø40 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
do​ = 40, di​ = 24 mmT = 2000 N·mL = 3 m

강철 중공축(바깥지름 40 mm, 안지름 24 mm, 길이 3 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 2000 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 2000 N·mdo = 40 mmdi = 24 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1450 rpm에서 50 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 8 kN/mAB단면4 m1 m

지점 A에서 x = 4 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mw = 8 kN/m, 0부터 5 m까지x = 4 m
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
12 kN/m20 kN15 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

20 kN @ 0 m15 kN @ 12 m25 kN @ 4 m12 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm150 mm105 mmØ50xIx​ = ?

120 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 105 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
200 mm200 mm70 mm60 × 40xIx​ = ?

200 mm × 200 mm 판에 폭 60 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 70 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 200 mm절취부: 60 × 40 mm구멍 중심: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 20τxy​ = −40MPa

한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 30° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.

σx = 20 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 140σy​ = 70τxy​ = −30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σx = 140 MPaσy = 70 MPaτxy = −30 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 5 kN/mδL = 5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
w = 12 kN/mAB5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 5 mw = 12 kN/m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 5 md = 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 30 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 2.838 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 65·1000/490.9 = 132.4 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 132.4/70000 = 0.001892 = 1892 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.001892·1500 mm = 2.838 mm

답

δ = 2.838 mm
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 74.6 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 11.94 MPa
σ2 = 74.6 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 74.6 MPa

답

σmax = 74.6 MPa
3.축의 비틀림

답: φ = 19.64 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

비틀림각

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·3000/(80000·218755) = 0.3428 rad
φ = 0.3428·180/π = 19.64°

답

φ = 19.64°
4.축의 비틀림

답: d = 27.57 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·329286/(π·80)) = 27.57 mm

답

d = 27.57 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = −12 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·5·2.5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20단면4 m1 m

x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 20 − 8·4 = −12 kN

답

Vx = −12 kN
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 69.33 kN, R2 = 62.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −40, MC = 34.67, MD = 11.33, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

답

표시점 E: ME = −60 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 31.46 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (18000·75 − 1963·105)/(18000 − 1963) = 71.33 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·150³/12 + 18000·3.673² = 33.99 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·50⁴/64 + 1963·33.67² = 2.533 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 31.46 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 31.46 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 130.7 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (40000·100 − 2400·70)/(40000 − 2400) = 101.9 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·200³/12 + 40000·−1.915² = 133.5 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

60·40³/12 + 2400·−31.91² = 2.765 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 130.7 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 130.7 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: σy′ = −29.64 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σy′ = 10 − 10·0.5 − (−40)·(−0.866) = −29.64 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σx′ = 49.64 MPa, σx′ + σy′ = 20 = σx + σy

답

σy′ = −29.64 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: τθ = −43.15 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τθ = −35·0.9397 + −30·0.342 = −43.15 MPa

답

τθ = −43.15 MPa
11.보의 처짐

답: δmax = 8.846 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 8.846 mm

답

δmax = 8.846 mm
12.보의 처짐

답: RB = 22.5 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22.5 kN

답

RB = 22.5 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 55.56 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55.56 kN

답

Pcr = 55.56 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 52.48 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 52.48 mm

답

d = 52.48 mm

확인: 세장비 KL/r는 266.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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