축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 15 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 200 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
알루미늄 중공축(바깥지름 40 mm, 안지름 28 mm, 길이 2 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·mdo = 40 mmdi = 28 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 50 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.8 m, B에서 2.5 m 떨어진 C에 토크 1000 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.
d = 50 mmT0 = 1000 N·ma = 0.8 mb = 2.5 m
TA = N·m
5.전단력과 휨 모멘트보통
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 하중 P1 아래의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 7.5 mP1 = 35 kN 위치 2 mP2 = 80 kN 위치 7.5 mx = 0과 x = 6 m에 지점
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 6 mP = 25 kN 위치 2 mw = 5 kN/m, 0부터 6 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 130 mm, 두께 10 mm이고, 전체 높이는 400 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
B = 130 mmH = 400 mmtf = 10 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 10 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
bf = 100 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 300 mmM = 10 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.
σx = 130 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −50 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보의 지점 B에서 b = 1 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 17 kNb = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 25 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 436.5 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 15·1000/490.9 = 30.56 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 30.56/70000 = 0.0004365 = 436.5 µε
답
ε = 436.5 µε
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 427.3 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8.545 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.001, 0.0005) = 0.0005 (구리)
최대 하중
Pmax = 0.0005·8.545 × 10⁸ = 427257 N = 427.3 kN
답
Pmax = 427.3 kN
3.축의 비틀림
답: φ = 4.615 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴
비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·2000/(26000·190984) = 0.08055 rad
φ = 0.08055·180/π = 4.615°
답
φ = 4.615°
4.축의 비틀림
답: TA = 757.6 N·m
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·2.5/3.3 = 757.6 N·m
TB = 1000·0.8/3.3 = 242.4 N·m
답
TA = 757.6 N·m
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 6.667 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.
ΣMA = 0: RB·6 = 35·2 + 80·7.5
RB = 670/6 = 111.7 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 111.7 = 3.333 kN
P1 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다
Mx = RA·2 = 3.333·2 = 6.667 kN·m
답
Mx = 6.667 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 53.33 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·2 + 5·6·3
RB = 140/6 = 23.33 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 23.33 = 31.67 kN
V = 0인 곳은?
V(2⁻) = RA − w·2 = 21.67 kN
V(2⁺) = 21.67 − 25 = −3.333 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.
최대 모멘트
Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 31.67·2 − 5·2²/2 = 53.33 kN·m
답
Mmax = 53.33 kN·m
A에서 x = 2 m인 곳에서 생깁니다.
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 126.3 × 10⁶ mm⁴
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.
hw = 400 − 2·10 = 380 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (130·400³ − 124·380³)/12
Ix = 1.263 × 10⁸ mm⁴ = 126.3 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 126.3 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ위 = 25.51 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 100·15 = 1500 mm², yf = 300 + 15/2 = 307.5 mm
웨브: Aw = 8·300 = 2400 mm², yw = 300/2 = 150 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1500·307.5 + 2400·150)/3900 = 210.6 mm
평행축 정리
플랜지: 100·15³/12 + 1500·(307.5 − 210.6)² = 1.412 × 10⁷ mm⁴
웨브: 8·300³/12 + 2400·(150 − 210.6)² = 2.681 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.412 × 10⁷ + 2.681 × 10⁷ = 4.093 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.
y = 315 − 210.6 = 104.4 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·104.4/4.093 × 10⁷ = 25.51 MPa
답
σ위 = 25.51 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: θs = −34.1 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.
cos 2θs = 30/80.78 = 0.3714, sin 2θs = −75/80.78 = −0.9285
2θs = atan2(−75, 30) = −68.2°
요소에서의 각도
θs = −34.1°
검산: θs − θp = −34.1 − 10.9 = −45°
답
θs = −34.1°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 34.12 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 35 + −85·0.342 + 30·0.9397 = 34.12 MPa
답
σθ = 34.12 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 7.337 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 7.337 mm
답
δmax = 7.337 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 21.38 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 17000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
최댓값의 위치
더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.
x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm
최대 처짐
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 21.38 mm
답
δmax = 21.38 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 79.59 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1250² = 79588 N = 79.59 kN
답
Pcr = 79.59 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 31.68 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 31.68 mm
답
d = 31.68 mm
확인: 세장비 KL/r는 157.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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