재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 20 mm황동0.5 mP = 10 kN

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 10 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø30110 GPaØ120/50300 mm

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 110 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
T = 1000 N·md = 30 mmL = 0.8 mφ = ?

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1500 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
30 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

30 kN @ 8 m40 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 2 kN/mP = 60 kNAB단면1 m2 m1 m

지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 60 kN 위치 3 mw = 2 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm150 mm90 mmØ60xIx​ = ?

150 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 60 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 90 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mm구멍 중심: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm200 mm60 mm80 × 20xIx​ = ?

120 mm × 200 mm 판에 폭 80 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 60 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 200 mm절취부: 80 × 20 mm구멍 중심: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −40σy​ = 70MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = 70 MPa이다. 최대 주응력이 110 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = −40 MPaσy = 70 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −50σy​ = 100τxy​ = −30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σx = −50 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 15 kN/mδL = 4 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
w = 2 kN/mABδ3.5 m

폭 100 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/300을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 100 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m25 × 50 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 55 kNL = 3 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 55 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 55 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1592 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314.2 = 31.83 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31.83/100000 = 0.0003183 = 318.3 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0003183·500 mm = 0.1592 mm

답

δ = 0.1592 mm
2.축 응력과 변형률

답: Pmax = 637.9 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·9346 = 1.169 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.0005455) = 0.0005455 (청동)

최대 하중

Pmax = 0.0005455·1.169 × 10⁹ = 637886 N = 637.9 kN

답

Pmax = 637.9 kN
3.축의 비틀림

답: φ = 14.78 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·79522) = 0.258 rad
φ = 0.258·180/π = 14.78°

답

φ = 14.78°
4.축의 비틀림

답: d = 21.35 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 15000/157.1 = 95.49 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·50)) = 21.35 mm

답

d = 21.35 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 16.67 kN, R2 = 53.33 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 33.33, MC = 66.67, MD = 100, ME = 133.3 kN·m, MF = 106.7, MG = 0

답

표시점 E: ME = 133.3 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 18 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·3 + 2·4·2
RB = 196/4 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 49 = 19 kN
w = 2 kN/mP = 60 kNABRA​ = 19RB​ = 49단면1 m2 m1 m

x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 19·1 − 2·1·0.5 = 18 kN·m

답

Mx = 18 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 40.82 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (22500·75 − 2827·90)/(22500 − 2827) = 72.84 mm

ȳ에 대한 전체 판

150·150³/12 + 22500·2.156² = 42.29 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·60⁴/64 + 2827·17.16² = 1.468 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 40.82 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 40.82 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 77.2 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (24000·100 − 1600·60)/(24000 − 1600) = 102.9 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·200³/12 + 24000·−2.857² = 80.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

80·20³/12 + 1600·−42.86² = 2.992 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 77.2 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 77.2 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 77.46 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (−40 + 70)/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 110 − 15 = 95 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 55²) = 77.46 MPa

답

τxy = 77.46 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: τθ = 49.95 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τθ = −−75·0.866 + −30·0.5 = 49.95 MPa

답

τθ = 49.95 MPa
11.보의 처짐

답: δmax = 29.41 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 29.41 mm

답

δmax = 29.41 mm
12.보의 처짐

답: hreq = 154 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δallow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm

필요한 단면 2차 모멘트

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·11.67) = 3.045 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = Ireq → h = (12·3.045 × 10⁷/100)1/3 = 154 mm

답

hreq = 154 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 4.998 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·3000 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4.998 kN

답

Pcr = 4.998 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 44.24 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 44.24 mm

답

d = 44.24 mm

확인: 세장비 KL/r는 135.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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