축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 85 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 95 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 100 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 300 rpm에서 50 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 50 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mw = 5 kN/m, 0부터 10 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 10 mP = 30 kN 위치 8 mw = 6 kN/m, 0부터 10 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.
bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 200 mmM = 5 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 35° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = −20 MPaσy = −10 MPaτxy = −60 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 20 MPaσy = −20 MPaτxy = −10 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 20 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 125 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 125 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 5411 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 85·1000/78.54 = 1082 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1082/200000 = 0.005411 = 5411 µε
답
ε = 5411 µε
2.축 응력과 변형률
답: σmax = 840 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 193.5 MPa
σ2 = 840 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 840 MPa
답
σmax = 840 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 8.619 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·38350) = 0.1504 rad
φ = 0.1504·180/π = 8.619°
답
φ = 8.619°
4.축의 비틀림
답: d = 54.53 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·50)) = 54.53 mm
답
d = 54.53 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 52.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 25·3 − 5·3·1.5 = 52.5 kN·m
답
Mx = 52.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 108 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·8 + 6·10·5
RB = 540/10 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 54 = 36 kN
V = 0인 곳은?
RA − w·x0 = 0 → x0 = 36/6 = 6 m
최대 모멘트
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 36·6 − 6·6²/2 = 108 kN·m
답
Mmax = 108 kN·m
A에서 x = 6 m인 곳에서 생깁니다.
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 54.89 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 240 + 15/2 = 247.5 mm
웨브: Aw = 20·240 = 4800 mm², yw = 240/2 = 120 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·247.5 + 4800·120)/8100 = 171.9 mm
평행축 정리
플랜지: 220·15³/12 + 3300·(247.5 − 171.9)² = 1.89 × 10⁷ mm⁴
웨브: 20·240³/12 + 4800·(120 − 171.9)² = 3.599 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.89 × 10⁷ + 3.599 × 10⁷ = 5.489 × 10⁷ mm⁴ = 54.89 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 54.89 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ아래 = 36.48 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm
웨브: Aw = 10·200 = 2000 mm², yw = 200/2 = 100 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·210 + 2000·100)/8000 = 182.5 mm
평행축 정리
플랜지: 300·20³/12 + 6000·(210 − 182.5)² = 4.737 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·200³/12 + 2000·(100 − 182.5)² = 2.028 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.737 × 10⁶ + 2.028 × 10⁷ = 2.502 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.
y = 182.5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·182.5/2.502 × 10⁷ = 36.48 MPa
답
σ아래 = 36.48 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 43.09 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = −15 − (−5)·0.342 − (−60)·0.9397 = 43.09 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = −73.09 MPa, σx′ + σy′ = −30 = σx + σy
답
σy′ = 43.09 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = −13.32 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 0 + 20·−0.1736 + −10·0.9848 = −13.32 MPa
답
σθ = −13.32 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 37.88 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 37.88 mm
답
δmax = 37.88 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 4.52 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·1500⁴/(384·70000·4.167) = 4.52 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 4.52 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 4.52 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 4.211 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·5000 = 5000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/5000² = 4211 N = 4.211 kN
답
Pcr = 4.211 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 95.43 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·125000 = 312500 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 95.43 mm
답
d = 95.43 mm
확인: 세장비 KL/r는 125.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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