재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 40 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 200 MPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 110 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 25 mm, 길이 0.8 m이고, 구간 BC는 지름 20 mm, 길이 1 m이다. 자유단 C에 토크 100 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 100 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 20 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

지름 40 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.2 m 떨어진 B에 토크 250 N·m이(가), 거기서 1 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 100 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 100 N·mAB = 1.2 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

20 kN @ 5 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mP = 45 kN 위치 5 mw = 10 kN/m, 0부터 8 m까지x = 5 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

100 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 84 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

용접 I형 단면의 상부 플랜지는 160 × 18 mm, 웨브는 높이 190 mm, 두께 14 mm, 하부 플랜지는 250 × 18 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

상부 플랜지: 160 × 18 mm웨브: 14 × 190 mm하부 플랜지: 250 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 25° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θ_A을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.보의 처짐어려움

단순보의 지점 B에서 b = 1.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 23 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 1700 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 40·1000/201.1 = 198.9 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 198.9/117000 = 0.0017 = 1700 µε

답

ε = 1700 µε

2.축 응력과 변형률

답: P_max = 534.8 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5.883 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.001, 0.0009091) = 0.0009091 (청동)

최대 하중

P_max = 0.0009091·5.883 × 10⁸ = 534785 N = 534.8 kN

답

P_max = 534.8 kN

3.축의 비틀림

답: φ_C = 6.053 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·800/(80000·38350) = 0.02608 rad

φ_BC = 100000·1000/(80000·15708) = 0.07958 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.02608 + 0.07958 = 0.1057 rad = 6.053°

답

φ_C = 6.053°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 27.85 MPa

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 250 = 350 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|_max = 350 N·m

τ_max = 16·350000/(π·40³) = 27.85 MPa

답

τ_max = 27.85 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 3 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 24.67 kN, R₂ = 27.33 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 20.67, M_C = 33.33, M_D = 38 kN·m, M_E = 34.67, M_F = 27.33, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 38 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 159.4 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, 작용점 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·5 + 10·8·4

R_B = 545/8 = 68.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 125 − 68.13 = 56.88 kN

x = 5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 56.88·5 − 10·5·2.5 = 159.4 kN·m

답

M_x = 159.4 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 113.4 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (24000·120 − 1257·84)/(24000 − 1257) = 122 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·240³/12 + 24000·−1.989² = 115.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·40⁴/64 + 1257·−37.99² = 1.939 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 113.4 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 113.4 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 85.2 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

세 개의 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

상부 플랜지: A = 2880 mm², y = 217 mm

웨브: A = 2660 mm², y = 113 mm

하부 플랜지: A = 4500 mm², y = 9 mm

도심

ȳ = (2880·217 + 2660·113 + 4500·9)/10040 = 96.22 mm

평행축 정리

상부 플랜지: 160·18³/12 + 2880·120.8² = 4.209 × 10⁷ mm⁴

웨브: 14·190³/12 + 2660·16.78² = 8.751 × 10⁶ mm⁴

하부 플랜지: 250·18³/12 + 4500·87.22² = 3.435 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.209 × 10⁷ + 8.751 × 10⁶ + 3.435 × 10⁷

I_x = 8.52 × 10⁷ mm⁴ = 85.2 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 85.2 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = 72.73 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 70 − (−40)·0.6428 − 30·0.766 = 72.73 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 67.27 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 140 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = 72.73 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −4.641 MPa

변환 식

σ_θ = 0 + 60·0.5 + −40·0.866 = −4.641 MPa

답

σ_θ = −4.641 MPa

11.보의 처짐

답: θ_A = 0.008571 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θ_A = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·8.4 × 10¹²) = 0.008571 rad

답

θ_A = 0.008571 rad

0.4911°입니다.

12.보의 처짐

답: δ_max = 1.679 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 23000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

최댓값의 위치

더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

최대 처짐

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1.679 mm

답

δ_max = 1.679 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 48.06 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2100² = 48063 N = 48.06 kN

답

P_cr = 48.06 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 2.429 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533.3

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/533.3² = 2.429 MPa

답

σ_cr = 2.429 MPa

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