축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 10 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 200 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 300 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mw = 3 kN/m, 0부터 6 m까지x = 5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 4 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mP = 30 kN 위치 5 mw = 4 kN/m, 0부터 6 m까지x = 4 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 180 mm, 두께 14 mm이고, 전체 높이는 240 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
B = 180 mmH = 240 mmtf = 14 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.
bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 120 mmM = 5 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 60 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.
σx = −30 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPa
σvM = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
P = 15 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
폭 50 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.
w = 2 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 50 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: P = 32.55 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3.316 × 10⁻⁶ mm/N
하중
P = 0.2/6.145 × 10⁻⁶ = 32546 N = 32.55 kN
답
P = 32.55 kN
2.축 응력과 변형률
답: δ = 0.7096 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 14.15 MPa
σ2 = 49.74 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 14.15·1500/100000 = 0.2122 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 49.74·1000/100000 = 0.4974 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.7096 mm
답
δ = 0.7096 mm
3.축의 비틀림
답: φ = 13.86 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·79522) = 0.2418 rad
φ = 0.2418·180/π = 13.86°
답
φ = 13.86°
4.축의 비틀림
답: d = 40.18 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40.18 mm
답
d = 40.18 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 7.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
x = 5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 9·5 − 3·5·2.5 = 7.5 kN·m
답
Mx = 7.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 36 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·5 + 4·6·3
RB = 222/6 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 37 = 17 kN
x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 17·4 − 4·4·2 = 36 kN·m
답
Mx = 36 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 72.38 × 10⁶ mm⁴
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.
hw = 240 − 2·14 = 212 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·240³ − 170·212³)/12
Ix = 7.238 × 10⁷ mm⁴ = 72.38 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 72.38 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ아래 = 83.47 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 240·15 = 3600 mm², yf = 120 + 15/2 = 127.5 mm
웨브: Aw = 12·120 = 1440 mm², yw = 120/2 = 60 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·127.5 + 1440·60)/5040 = 108.2 mm
평행축 정리
플랜지: 240·15³/12 + 3600·(127.5 − 108.2)² = 1.406 × 10⁶ mm⁴
웨브: 12·120³/12 + 1440·(60 − 108.2)² = 5.075 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.406 × 10⁶ + 5.075 × 10⁶ = 6.482 × 10⁶ mm⁴
휨 응력
아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.
y = 108.2 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·108.2/6.482 × 10⁶ = 83.47 MPa
답
σ아래 = 83.47 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = 64.9 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·30, 60 − 110) = 129.8°
요소에서의 각도
θp = 64.9°
답
θp = 64.9°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: σvM = 45.83 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = −30 MPa, R = 20 MPa
σ1 = −10 MPa, σ2 = −50 MPa, σ3 = 0
폰 미제스
σvM = √((−10)² − (−10)·(−50) + (−50)²) = 45.83 MPa
답
σvM = 45.83 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 4.912 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 15000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(3EI) = 15000·2000³/(3·1.14 × 10¹³) = 3.509 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 1.404 mm
더하기
δ = 3.509 + 1.404 = 4.912 mm
답
δ = 4.912 mm
12.보의 처짐
답: hreq = 182.6 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²
처짐 한계
δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm
필요한 단면 2차 모멘트
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·14) = 2.538 × 10⁷ mm⁴
필요한 높이
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.538 × 10⁷/50)1/3 = 182.6 mm
답
hreq = 182.6 mm
실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 9.638 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·2000 = 4000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/4000² = 9638 N = 9.638 kN
답
Pcr = 9.638 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 100.7 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/5 = 140
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa
답
σcr = 100.7 MPa
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