재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
200 kNØ40120 GPaØ80/50500 mmδ = ?

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 200 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 200 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø40120 GPaØ120/70500 mm

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 200 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 120 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mφ = ?

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 300 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
10 kN/m40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

40 kN @ 2 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 2 kN/mP = 25 kNAB단면3 m2 m

지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 25 kN 위치 3 mw = 2 kN/m, 0부터 5 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm150 mm52.5 mmØ30xIx​ = ?

120 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 52.5 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
200 mm300 mm180 mm80 × 30xIx​ = ?

200 mm × 300 mm 판에 폭 80 mm, 높이 30 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 180 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 300 mm절취부: 80 × 30 mm구멍 중심: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −70σy​ = −80τxy​ = −50MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = −50 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = −70 MPaσy = −80 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 70σy​ = −80τxy​ = 40MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 70 MPaσy = −80 MPaτxy = 40 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 2 kN/mP = 15 kNABδ4 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 15 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
w = 12 kN/mAB6 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 6 mw = 12 kN/m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 4 md = 30 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 30 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1616 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6.189 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 200000·500/6.189 × 10⁸ = 0.1616 mm

답

δ = 0.1616 mm
2.축 응력과 변형률

답: Pmax = 764.5 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1.147 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.001, 0.0006667) = 0.0006667 (구리)

최대 하중

Pmax = 0.0006667·1.147 × 10⁹ = 764454 N = 764.5 kN

답

Pmax = 764.5 kN
3.축의 비틀림

답: φ = 4.384 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·251327) = 0.07652 rad
φ = 0.07652·180/π = 4.384°

답

φ = 4.384°
4.축의 비틀림

답: d = 54.53 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·2.387 × 10⁶/(π·75)) = 54.53 mm

답

d = 54.53 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: C (x = 2 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 56.67 kN, R2 = 43.33 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 51.67, MC = 93.33 kN·m, MD = 85, ME = 66.67, MF = 38.33, MG = 0

답

표시점 C: MC = 93.33 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 36 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3 + 2·5·2.5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 20 = 15 kN
w = 2 kN/mP = 25 kNABRA​ = 15RB​ = 20단면3 m2 m

x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 15·3 − 2·3·1.5 = 36 kN·m

답

Mx = 36 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 33.34 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (18000·75 − 706.9·52.5)/(18000 − 706.9) = 75.92 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·150³/12 + 18000·−0.9197² = 33.77 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·30⁴/64 + 706.9·−23.42² = 0.4275 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 33.34 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 33.34 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 447.6 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (60000·150 − 2400·180)/(60000 − 2400) = 148.8 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·300³/12 + 60000·1.25² = 450.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

80·30³/12 + 2400·31.25² = 2.524 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 447.6 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 447.6 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 62.62 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

στxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = −75 MPa, R = √(5² + (−50)²) = 50.25 MPa
σ1 = −24.75 MPa, σ2 = −125.2 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(100.5, 24.75, 125.2)/2 = 62.62 MPa

답

τabs = 62.62 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = −2.141 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = −5 + 75·0.5 + 40·−0.866 = −2.141 MPa

답

σθ = −2.141 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 45.71 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(3EI) = 15000·4000³/(3·8.4 × 10¹²) = 38.1 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 7.619 mm

더하기

δ = 38.1 + 7.619 = 45.71 mm

답

δ = 45.71 mm
12.보의 처짐

답: RB = 27 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·6/8 = 27 kN

답

RB = 27 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 10.01 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10.01 kN

답

Pcr = 10.01 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 60.79 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·30000 = 75000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 60.79 mm

답

d = 60.79 mm

확인: 세장비 KL/r는 276.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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