재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
100 kNØ4070 GPaØ120/60500 mmδ = ?

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 30 mm구리1.5 mØ 12 mm알루미늄0.5 mP = 40 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 40 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 1000 N·m

중공축이 토크 1000 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 1000 N·mdi/do = 0.6τallow = 50 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
do​ = ?50 kW, 3000 rpm

중공축이 3000 rpm에서 50 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.5τallow = 60 MPa
do = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 6 kN/mP = 20 kNAB1.5 m1 m

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 2.5 mP = 20 kN 위치 1.5 mw = 6 kN/m, 0부터 2.5 m까지
MA = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
4 kN/m20 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

20 kN @ 0 m15 kN @ 6 m4 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm150 mm52.5 mmØ30xIx​ = ?

120 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 52.5 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm240 mm84 mm30 × 50xIx​ = ?

120 mm × 240 mm 판에 폭 30 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 84 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 240 mm절취부: 30 × 50 mm구멍 중심: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 40σy​ = 30τxy​ = −10MPa

한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 30° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.

σx = 40 MPaσy = 30 MPaτxy = −10 MPaθ = 30°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −80σy​ = 70τxy​ = −20MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 40° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σx = −80 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 10 kN/mδL = 2 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
w = 5 kN/mP = 27 kNδL = 1.5 m

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 27 kNw = 5 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2.5 m20 × 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 4 md = 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.05917 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8.451 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 100000·500/8.451 × 10⁸ = 0.05917 mm

답

δ = 0.05917 mm
2.축 응력과 변형률

답: δ = 3.252 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 56.59 MPa
σ2 = 353.7 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 56.59·1500/117000 = 0.7255 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 353.7·500/70000 = 2.526 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.252 mm

답

δ = 3.252 mm
3.축의 비틀림

답: do = 48.91 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·50·0.8704)) = 48.91 mm
di = 0.6·48.91 = 29.35 mm

답

do = 48.91 mm

속이 찬 축이라면 d = 46.7 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: do = 24.33 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 159.2 N·m = 159155 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·60·0.9375)) = 24.33 mm
di = 0.5·24.33 = 12.17 mm

답

do = 24.33 mm

속이 찬 축이라면 d = 23.82 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: MA = −48.75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −20·1.5 = −30 kN·m
w: −6·2.5²/2 = −18.75 kN·m
MA = −30 − 18.75 = −48.75 kN·m

답

MA = −48.75 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 22.67 kN, R2 = 24.33 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −20, MC = −19.33, MD = −22.67, ME = −30 kN·m, MF = −15, MG = 0

답

표시점 E: ME = −30 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 33.34 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (18000·75 − 706.9·52.5)/(18000 − 706.9) = 75.92 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·150³/12 + 18000·−0.9197² = 33.77 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·30⁴/64 + 706.9·−23.42² = 0.4275 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 33.34 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 33.34 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 135.9 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (28800·120 − 1500·84)/(28800 − 1500) = 122 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·240³/12 + 28800·−1.978² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

30·50³/12 + 1500·−37.98² = 2.476 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 135.9 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 135.9 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: σy′ = 41.16 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σy′ = 35 − 5·0.5 − (−10)·0.866 = 41.16 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σx′ = 28.84 MPa, σx′ + σy′ = 70 = σx + σy

답

σy′ = 41.16 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: τθ = 70.39 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τθ = −−75·0.9848 + −20·0.1736 = 70.39 MPa

답

τθ = 70.39 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 11.76 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 11.76 mm

답

δ = 11.76 mm
12.보의 처짐

답: δmax = 1.311 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 27000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(48EI) = 27000·1500³/(48·1.7 × 10¹²) = 1.117 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 0.1939 mm

더하기

δmax = 1.117 + 0.1939 = 1.311 mm

답

δmax = 1.311 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 21.48 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1750² = 21485 N = 21.48 kN

답

Pcr = 21.48 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 197.4 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

답

σcr = 197.4 MPa

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