재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
P = ?12600 mm200 mmØ20Ø60δ = 0.4 mm

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 200 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø25120 GPaØ100/60400 mm

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 400 N·m

중공축이 토크 400 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 400 N·mdi/do = 0.7τallow = 40 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 60 mm, di​ = 45 mm

속이 빈 축이 1450 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 1450 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
10 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

60 kN @ 6 m10 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
15 kN/m50 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

50 kN @ 12 m40 kN @ 4 m15 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm200 mm80 mmØ40xIx​ = ?

150 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 80 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 150 mmh = 200 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
100 mm300 mm210 mm60 × 40xIx​ = ?

100 mm × 300 mm 판에 폭 60 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 210 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 300 mm절취부: 60 × 40 mm구멍 중심: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 90σy​ = 50τxy​ = −50MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 90 MPaσy = 50 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​τxy​축의 윗면

지름 25 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 300 N·m와(과) 토크 750 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.

d = 25 mmM = 300 N·mT = 750 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
w = 4 kN/mδL = 5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
P = 20 kNP = 20 kNABδ2.667 m2.666 m2.667 m

단순보의 3등분점(각 지점에서 L/3)에 같은 집중 하중 P 두 개가 작용한다. 중첩을 이용해 경간 중앙의 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 20 kNL = 8 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 4 md = 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 100 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 100 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 100 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 39.45 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·2827) = 5.895 × 10⁻⁷ mm/N

하중

P = 0.4/1.014 × 10⁻⁵ = 39453 N = 39.45 kN

답

P = 39.45 kN
2.축 응력과 변형률

답: Pmax = 350.7 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·5027 = 7.014 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.0005) = 0.0005 (구리)

최대 하중

Pmax = 0.0005·7.014 × 10⁸ = 350680 N = 350.7 kN

답

Pmax = 350.7 kN
3.축의 비틀림

답: do = 40.62 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0.7599)) = 40.62 mm
di = 0.7·40.62 = 28.43 mm

답

do = 40.62 mm

속이 찬 축이라면 d = 37.07 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: τmax = 11.36 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 329286·30/869767 = 11.36 MPa

답

τmax = 11.36 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 6 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 83.33 kN, R2 = 56.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 146.7, MC = 253.3, MD = 320 kN·m, ME = 226.7, MF = 113.3, MG = 0

답

표시점 D: MD = 320 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: C (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 89 kN, R2 = 151 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 148, MC = 236 kN·m, MD = 184, ME = 72, MF = −100, MG = 0

답

표시점 C: MC = 236 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 99.35 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (30000·100 − 1257·80)/(30000 − 1257) = 100.9 mm

ȳ에 대한 전체 판

150·200³/12 + 30000·−0.8744² = 100 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·40⁴/64 + 1257·−20.87² = 0.6732 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 99.35 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 99.35 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 215.3 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (30000·150 − 2400·210)/(30000 − 2400) = 144.8 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·300³/12 + 30000·5.217² = 225.8 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

60·40³/12 + 2400·65.22² = 10.53 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 215.3 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 215.3 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 53.85 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((90 − 50)/2)² + −50²) = 53.85 MPa

답

τmax = 53.85 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σ1 = 361.1 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·25³) = 195.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·25³) = 244.5 MPa
στxyCσ1​σ2​

모어 원

C = σ/2 = 97.78 MPa
R = √(97.78² + 244.5²) = 263.3 MPa
σ1 = C + R = 361.1 MPa
σ2 = C − R = −165.5 MPa

답

σ1 = 361.1 MPa
11.보의 처짐

답: δmax = 1.017 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 1.017 mm

답

δmax = 1.017 mm
12.보의 처짐

답: δmax = 31.88 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 20000 N, L = 8000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

L/3의 하중 하나

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 15.94 mm

두 하중 더하기

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 31.88 mm

답

δmax = 31.88 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 56.06 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2800² = 56060 N = 56.06 kN

답

Pcr = 56.06 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 69.42 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 69.42 mm

답

d = 69.42 mm

확인: 세장비 KL/r는 172.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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