축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 10 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 25 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 500 N·md = 20 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 300 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 300 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mw = 3 kN/m, 0부터 6 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mP = 25 kN 위치 3 mw = 5 kN/m, 0부터 6 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
100 mm × 300 mm 판에 폭 50 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 120 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 300 mm절취부: 50 × 50 mm구멍 중심: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −80 MPaσy = 50 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
지름 20 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 10 kN와(과) 토크 500 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 20 mmF = −10 kNT = 500 N·m
τmax = MPa
11.보의 처짐보통
길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δB을(를) 구하시오.
P = 3 kNa = 2.5 mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 85 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 1088 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 10·1000/78.54 = 127.3 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 127.3/117000 = 0.001088 = 1088 µε
답
ε = 1088 µε
2.축 응력과 변형률
답: σ2 = 10.35 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 30000·343612/507236 = 20323 N
응력
σ2 = 20323/1963 = 10.35 MPa (압축)
답
σ2 = 10.35 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 11.4 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(80000·15708) = 0.1989 rad
φ = 0.1989·180/π = 11.4°
답
φ = 11.4°
4.축의 비틀림
답: d = 58.74 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·2.387 × 10⁶/(π·60)) = 58.74 mm
답
d = 58.74 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 10.13 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 9·1.5 − 3·1.5·0.75 = 10.13 kN·m
답
Mx = 10.13 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 60 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·3 + 5·6·3
RB = 165/6 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27.5 = 27.5 kN
x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 27.5·3 − 5·3·1.5 = 60 kN·m
답
Mx = 60 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 3.941 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 100 + 10/2 = 105 mm
웨브: Aw = 14·100 = 1400 mm², yw = 100/2 = 50 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·105 + 1400·50)/4000 = 85.75 mm
평행축 정리
플랜지: 260·10³/12 + 2600·(105 − 85.75)² = 985129 mm⁴
웨브: 14·100³/12 + 1400·(50 − 85.75)² = 2.956 × 10⁶ mm⁴
Ix = 985129 + 2.956 × 10⁶ = 3.941 × 10⁶ mm⁴ = 3.941 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 3.941 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 222 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (30000·150 − 2500·120)/(30000 − 2500) = 152.7 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·300³/12 + 30000·−2.727² = 225.2 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
50·50³/12 + 2500·−32.73² = 3.199 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 222 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 222 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 68.01 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−80 − 50)/2)² + 20²) = 68.01 MPa
답
τmax = 68.01 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 318.7 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −10000/(π·20²/4) = −10000/314.2 = −31.83 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318.3 MPa
모어 원
C = σ/2 = −15.92 MPa
R = √((−15.92)² + 318.3²) = 318.7 MPa
답
τmax = 318.7 MPa
11.보의 처짐
답: δB = 12.62 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 3000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
자유단의 처짐
하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.
δP = Pa³/(3EI) = 9.705 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.005823 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12.62 mm
답
δB = 12.62 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 64.29 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·4000⁴/(384·70000·11.11) = 6.429 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 64.29 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 64.29 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 32.9 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·1000 = 2000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2000² = 32899 N = 32.9 kN
답
Pcr = 32.9 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 86.66 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 86.66 mm
답
d = 86.66 mm
확인: 세장비 KL/r는 138.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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