재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 20 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.8 m, B에서 1.2 m 떨어진 C에 토크 500 N·m이(가) 가해진다. 단면 C의 회전각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 20 mmT₀ = 500 N·ma = 0.8 mb = 1.2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

55 kN @ 2 m15 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 4 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mP = 45 kN 위치 4 mw = 2 kN/m, 0부터 8 m까지x = 4 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 120 mm, 두께 18 mm이고, 전체 높이는 280 mm, 웨브 두께는 14 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 휨의 탄성 단면 계수 S_x을(를) 구하시오.

B = 120 mmH = 280 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmM = 5 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θ_A을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.보의 처짐어려움

단순보의 지점 B에서 b = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 경간 중앙의 처짐 δ_mid을(를) 구하시오.

P = 13 kNb = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.05327 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·9346 = 1.126 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 100000·600/1.126 × 10⁹ = 0.05327 mm

답

δ = 0.05327 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 7.795 MPa

강성

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 30000·490874/962113 = 15306 N

응력

σ₂ = 15306/1963 = 7.795 MPa (압축)

답

σ₂ = 7.795 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 9.194 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·38350) = 0.1605 rad

φ = 0.1605·180/π = 9.194°

답

φ = 9.194°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 10.94 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·1.2/2 = 300 N·m

T_B = 500·0.8/2 = 200 N·m

C의 회전각

구간 AC를 쓰세요. A에서 고정되어 있고 T_A를 받습니다.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 300000·800/(80000·15708) = 0.191 rad = 10.94°

답

φ_C = 10.94°

5.전단력과 휨 모멘트

답: C (x = 2 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 62.92 kN, R₂ = 37.08 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 62.92, M_C = 118.3 kN·m, M_D = 103.8, M_E = 74.17, M_F = 37.08, M_G = 0

답

표시점 C: M_C = 118.3 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 106 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, 작용점 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·4 + 2·8·4

R_B = 244/8 = 30.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 30.5 = 30.5 kN

x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 30.5·4 − 2·4·2 = 106 kN·m

답

M_x = 106 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: S_x = 651.4 × 10³ mm³

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 280 − 2·18 = 244 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·280³ − 106·244³)/12

I_x = 9.12 × 10⁷ mm⁴

단면 계수

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 9.12 × 10⁷/140

S_x = 651429 mm³ = 651.4 × 10³ mm³

답

S_x = 651.4 × 10³ mm³

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 59.99 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

웨브: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·115 + 2000·50)/6800 = 95.88 mm

평행축 정리

플랜지: 160·30³/12 + 4800·(115 − 95.88)² = 2.114 × 10⁶ mm⁴

웨브: 20·100³/12 + 2000·(50 − 95.88)² = 5.877 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.114 × 10⁶ + 5.877 × 10⁶ = 7.991 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 95.88 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·95.88/7.991 × 10⁶ = 59.99 MPa

답

σ_아래 = 59.99 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 40.31 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((20 − −50)/2)² + −20²) = 40.31 MPa

답

τ_max = 40.31 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −6.463 MPa

변환 식

σ_θ = 20 + 60·0.342 + −50·0.9397 = −6.463 MPa

답

σ_θ = −6.463 MPa

11.보의 처짐

답: θ_A = 0.02264 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θ_A = wL³/(24EI) = 20·5000³/(24·4.6 × 10¹²) = 0.02264 rad

답

θ_A = 0.02264 rad

1.297°입니다.

12.보의 처짐

답: δ_mid = 13.32 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 13000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

경간 중앙의 처짐

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 13000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·2.4 × 10¹²) = 13.32 mm

답

δ_mid = 13.32 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.395 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·5000 = 10000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/10000² = 4395 N = 4.395 kN

답

P_cr = 4.395 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 26.99 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6.25 = 160

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa

답

σ_cr = 26.99 MPa

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