재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
50 kNØ2570 GPaØ100/70500 mmδ = ?

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm알루미늄2 mØ 16 mm강철1.5 mP = 115 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 115 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 400 N·m

중공축이 토크 400 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.8배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 400 N·mdi/do = 0.8τallow = 40 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1800 rpm에서 10 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 4 kN/mP = 55 kNAB2.5 m

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 2.5 mP = 55 kN 위치 2.5 mw = 4 kN/m, 0부터 2.5 m까지
MA = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 2 kN/mP = 35 kNAB5 m1 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 35 kN 위치 5 mw = 2 kN/m, 0부터 6 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm240 mm96 mmØ40xIx​ = ?

120 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 96 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1603018016xM = 40 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.

bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 180 mmM = 40 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 60σy​ = 60τxy​ = 50MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 50 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = 60 MPaσy = 60 MPaτxy = 50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 40σy​ = 10τxy​ = 20MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 20 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.

σx = 40 MPaσy = 10 MPaτxy = 20 MPa
σvM = MPa
11.보의 처짐보통
P = 25 kNABδ2.5 m1.5 m

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 25 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
w = 2.5 kN/mABδ4.5 m

폭 100 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/300을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.

w = 2.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 100 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 6 md = 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 90 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 90 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 90 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.06604 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·4006 = 3.786 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 50000·500/3.786 × 10⁸ = 0.06604 mm

답

δ = 0.06604 mm
2.축 응력과 변형률

답: δ = 10.98 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 234.3 MPa
σ2 = 572 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 234.3·2000/70000 = 6.694 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 572·1500/200000 = 4.29 mm
δ = δ1 + δ2 = 10.98 mm

답

δ = 10.98 mm
3.축의 비틀림

답: do = 44.18 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0.5904)) = 44.18 mm
di = 0.8·44.18 = 35.35 mm

답

do = 44.18 mm

속이 찬 축이라면 d = 37.07 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: d = 17.55 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 10000/188.5 = 53.05 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·53052/(π·50)) = 17.55 mm

답

d = 17.55 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: MA = −150 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −55·2.5 = −137.5 kN·m
w: −4·2.5²/2 = −12.5 kN·m
MA = −137.5 − 12.5 = −150 kN·m

답

MA = −150 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 34.17 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·5 + 2·6·3
RB = 211/6 = 35.17 kN
ΣFy = 0: RA = 47 − 35.17 = 11.83 kN

V = 0인 곳은?

V(5⁻) = RA − w·5 = 1.833 kN
V(5⁺) = 1.833 − 35 = −33.17 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

Mmax = RA·5 − w·5²/2 = 11.83·5 − 2·5²/2 = 34.17 kN·m

답

Mmax = 34.17 kN·m

A에서 x = 5 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 137.4 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (28800·120 − 1257·96)/(28800 − 1257) = 121.1 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·240³/12 + 28800·−1.095² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·40⁴/64 + 1257·−25.09² = 0.917 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 137.4 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 137.4 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ아래 = 222.5 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
웨브: Aw = 16·180 = 2880 mm², yw = 180/2 = 90 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·195 + 2880·90)/7680 = 155.6 mm

평행축 정리

플랜지: 160·30³/12 + 4800·(195 − 155.6)² = 7.802 × 10⁶ mm⁴
웨브: 16·180³/12 + 2880·(90 − 155.6)² = 2.018 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.802 × 10⁶ + 2.018 × 10⁷ = 2.798 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 155.6 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·155.6/2.798 × 10⁷ = 222.5 MPa

답

σ아래 = 222.5 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 55 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

στxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = 60 MPa, R = √(0² + 50²) = 50 MPa
σ1 = 110 MPa, σ2 = 10 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(100, 110, 10)/2 = 55 MPa

답

τabs = 55 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σvM = 50 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 25 MPa, R = 25 MPa
σ1 = 50 MPa, σ2 = 0 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(50² − 50·0 + 0²) = 50 MPa

답

σvM = 50 MPa
11.보의 처짐

답: δP = 51.67 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 25000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa³/(3EI) = 25000·2500³/(3·2.52 × 10¹²) = 51.67 mm

답

δP = 51.67 mm
12.보의 처짐

답: hreq = 213.3 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

필요한 단면 2차 모멘트

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·4500⁴/(384·11000·15) = 8.09 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = Ireq → h = (12·8.09 × 10⁷/100)1/3 = 213.3 mm

답

hreq = 213.3 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 9.646 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·6000 = 12000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/12000² = 9646 N = 9.646 kN

답

Pcr = 9.646 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 63.94 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 63.94 mm

답

d = 63.94 mm

확인: 세장비 KL/r는 187.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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