축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 80 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
중공축이 토크 200 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
T = 200 N·mdi/do = 0.5τallow = 75 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 3000 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 20 kWN = 3000 rpmdo = 40 mmdi = 32 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
단순보의 A에서 x = 1 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 10 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 왼쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mM0 = 10 kN·m 시계 방향, 위치 1 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 7 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 20 kN 위치 7 mw = 8 kN/m, 0부터 8 m까지x = 7 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 168 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.
bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 220 mmM = 5 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = −60 MPaσy = 40 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = −60 MPaσy = 80 MPaτxy = −30 MPaθ = 50°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.
L = 8 mP = 50 kN 위치 4 m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 20 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 0.06914 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·5027 = 6.943 × 10⁸ N
줄어든 길이
δ = 80000·600/6.943 × 10⁸ = 0.06914 mm
답
δ = 0.06914 mm
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 394 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·8482 = 6.566 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.0006, 0.001429) = 0.0006 (강철)
최대 하중
Pmax = 0.0006·6.566 × 10⁸ = 393956 N = 394 kN
답
Pmax = 394 kN
3.축의 비틀림
답: do = 24.38 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0.9375)) = 24.38 mm
di = 0.5·24.38 = 12.19 mm
답
do = 24.38 mm
속이 찬 축이라면 d = 23.86 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
4.축의 비틀림
답: τmax = 8.581 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 20000/314.2 = 63.66 N·m
극관성 모멘트
J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 63662·20/148384 = 8.581 MPa
답
τmax = 8.581 MPa
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −2.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.
지점 반력
A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 10/4 = 2.5 kN (위쪽)
RA = −RB = −2.5 kN (아래쪽)
우력 바로 왼쪽에서 자른다
왼쪽 부분에는 RA만 포함됩니다.
Mx = RA·a = −2.5·1 = −2.5 kN·m
답
Mx = −2.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 45.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·7 + 8·8·4
RB = 396/8 = 49.5 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 49.5 = 34.5 kN
x = 7 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 34.5·7 − 8·7·3.5 = 45.5 kN·m
답
Mx = 45.5 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 136.5 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (28800·120 − 706.9·168)/(28800 − 706.9) = 118.8 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·240³/12 + 28800·1.208² = 138.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·30⁴/64 + 706.9·49.21² = 1.751 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 136.5 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 136.5 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ아래 = 42.17 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
웨브: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·225 + 1760·110)/4560 = 180.6 mm
평행축 정리
플랜지: 280·10³/12 + 2800·(225 − 180.6)² = 5.54 × 10⁶ mm⁴
웨브: 8·220³/12 + 1760·(110 − 180.6)² = 1.587 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.54 × 10⁶ + 1.587 × 10⁷ = 2.141 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.
y = 180.6 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·180.6/2.141 × 10⁷ = 42.17 MPa
답
σ아래 = 42.17 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = 64.9 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·60, −60 − 40) = 129.8°
요소에서의 각도
θp = 64.9°
답
θp = 64.9°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 74.15 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −−70·0.9848 + −30·−0.1736 = 74.15 MPa
답
τθ = 74.15 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 10.55 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 6000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 10.55 mm
답
δmax = 10.55 mm
12.보의 처짐
답: RB = 15.63 kN
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).
받침 제거
받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
받침에서의 적합 조건
받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·50/16 = 15.63 kN
답
RB = 15.63 kN
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 2.412 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2.412 kN
답
Pcr = 2.412 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 27.76 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa
답
σcr = 27.76 MPa
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