재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 20 mm알루미늄3 mP = 105 kN

알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 105 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 35 mm구리0.5 mØ 20 mm강철2 mP = 100 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN구간 1: Ø35 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mφ = ?

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 100 mm, di​ = 70 mm

속이 빈 축이 1000 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 1000 rpmdo = 100 mmdi = 70 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
15 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

60 kN @ 4 m15 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
55 kN30 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

55 kN @ 0 m30 kN @ 6 m30 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
2505002214x치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 250 mm, 두께 22 mm이고, 전체 높이는 500 mm, 웨브 두께는 14 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 휨의 탄성 단면 계수 Sx을(를) 구하시오.

B = 250 mmH = 500 mmtf = 22 mmtw = 14 mm
Sx = × 10³ mm³
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
190300162101214x치수 단위: mm

용접 I형 단면의 상부 플랜지는 190 × 16 mm, 웨브는 높이 210 mm, 두께 14 mm, 하부 플랜지는 300 × 12 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

상부 플랜지: 190 × 16 mm웨브: 14 × 210 mm하부 플랜지: 300 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 100σy​ = 30τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = 100 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 60σy​ = 80τxy​ = 40MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 60 MPaσy = 80 MPaτxy = 40 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 20 kN/mδL = 1.5 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
P = 23 kNP = 23 kNABδ1.667 m1.666 m1.667 m

단순보의 3등분점(각 지점에서 L/3)에 같은 집중 하중 P 두 개가 작용한다. 중첩을 이용해 경간 중앙의 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 23 kNL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 6 m30 × 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 75 kNL = 2 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 75 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 4775 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 105·1000/314.2 = 334.2 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 334.2/70000 = 0.004775 = 4775 µε

답

ε = 4775 µε
2.축 응력과 변형률

답: δ = 3.627 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 103.9 MPa
σ2 = 318.3 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 103.9·500/117000 = 0.4442 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 318.3·2000/200000 = 3.183 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.627 mm

답

δ = 3.627 mm
3.축의 비틀림

답: φ = 4.619 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·79522) = 0.08061 rad
φ = 0.08061·180/π = 4.619°

답

φ = 4.619°
4.축의 비틀림

답: τmax = 4.8 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m

극관성 모멘트

J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7.46 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 716197·50/7.46 × 10⁶ = 4.8 MPa

답

τmax = 4.8 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 65 kN, R2 = 85 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 57.5, MC = 100, MD = 127.5, ME = 140 kN·m, MF = 77.5, MG = 0

답

표시점 E: ME = 140 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 73.33 kN, R2 = 41.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −55, MC = −36.67, MD = −48.33, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

답

표시점 E: ME = −60 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Sx = 2958 × 10³ mm³

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 500 − 2·22 = 456 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (250·500³ − 236·456³)/12
Ix = 7.394 × 10⁸ mm⁴

단면 계수

c = H/2 = 250 mm
Sx = I/c = 7.394 × 10⁸/250
Sx = 2.958 × 10⁶ mm³ = 2958 × 10³ mm³

답

Sx = 2958 × 10³ mm³
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 93.76 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

세 개의 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

상부 플랜지: A = 3040 mm², y = 230 mm
웨브: A = 2940 mm², y = 117 mm
하부 플랜지: A = 3600 mm², y = 6 mm

도심

ȳ = (3040·230 + 2940·117 + 3600·6)/9580 = 111.1 mm

평행축 정리

상부 플랜지: 190·16³/12 + 3040·118.9² = 4.301 × 10⁷ mm⁴
웨브: 14·210³/12 + 2940·5.854² = 1.091 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 300·12³/12 + 3600·105.1² = 3.984 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.301 × 10⁷ + 1.091 × 10⁷ + 3.984 × 10⁷
Ix = 9.376 × 10⁷ mm⁴ = 93.76 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 93.76 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: θp = 20.3 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·30, 100 − 30) = 40.6°

요소에서의 각도

θp = 20.3°

답

θp = 20.3°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 111.1 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 70 + −10·−0.1736 + 40·0.9848 = 111.1 MPa

답

σθ = 111.1 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 2.152 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 2.152 mm

답

δ = 2.152 mm
12.보의 처짐

답: δmax = 14.17 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 23000 N, L = 5000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

L/3의 하중 하나

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 7.086 mm

두 하중 더하기

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 14.17 mm

답

δmax = 14.17 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 29.61 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29.61 kN

답

Pcr = 29.61 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 70.55 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 70.55 mm

답

d = 70.55 mm

확인: 세장비 KL/r는 226.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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