재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
80 kNØ40120 GPaØ120/50500 mmδ = ?

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø3070 GPaØ120/70800 mm

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
do​ = 30, di​ = 21 mmT = 100 N·mL = 2 m

황동 중공축(바깥지름 30 mm, 안지름 21 mm, 길이 2 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 100 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 100 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = ?50 kW, 750 rpm

속이 찬 강철 축이 750 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.25°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 12 kN/mP = 15 kNAB단면0.5 m0.5 m1.5 m

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 1 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 0.5 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 2.5 mP = 15 kN 위치 1 mw = 12 kN/m, 0부터 2.5 m까지x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 12 kN/mP = 35 kNAB단면2.5 m3.5 m

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 35 kN 위치 2.5 mw = 12 kN/m, 0부터 6 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm240 mm84 mmØ50xIx​ = ?

120 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 84 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1705002214xM = 50 kN·m치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 170 mm, 두께 22 mm이고, 전체 높이는 500 mm, 웨브 두께는 14 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 50 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σmax을(를) 구하시오.

B = 170 mmH = 500 mmtf = 22 mmtw = 14 mmM = 50 kN·m
σmax = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −20σy​ = 30τxy​ = −30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = −20 MPaσy = 30 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 20σy​ = 120τxy​ = 60MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 20 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPaσY = 250 MPa
n =
11.보의 처짐보통
w = 4 kN/mδL = 6 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
P = 45 kNAB2 m2 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 45 kN 위치 2 m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2 m30 × 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 2.5 md = 30 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.02914 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1.373 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 80000·500/1.373 × 10⁹ = 0.02914 mm

답

δ = 0.02914 mm
2.축 응력과 변형률

답: Pmax = 398.2 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·7461 = 6.637 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0006, 0.0007143) = 0.0006 (강철)

최대 하중

Pmax = 0.0006·6.637 × 10⁸ = 398197 N = 398.2 kN

답

Pmax = 398.2 kN
3.축의 비틀림

답: φ = 4.862 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

비틀림각

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 100000·2000/(39000·60428) = 0.08486 rad
φ = 0.08486·180/π = 4.862°

답

φ = 4.862°
4.축의 비틀림

답: d = 65.65 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

강도 기준 지름

T = 636.6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·75)) = 35.1 mm

강성 기준 지름

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·636620/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 65.65 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(35.1, 65.65) = 65.65 mm

답

d = 65.65 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = −31.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −15·0.5 = −7.5 kN·m
w: −12·2²/2 = −24 kN·m
Mx = −7.5 − 24 = −31.5 kN·m

답

Mx = −31.5 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 103.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·2.5 + 12·6·3
RB = 303.5/6 = 50.58 kN
ΣFy = 0: RA = 107 − 50.58 = 56.42 kN
w = 12 kN/mP = 35 kNABRA​ = 56.42RB​ = 50.58단면2.5 m3.5 m

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 56.42·2.5 − 12·2.5·1.25 = 103.5 kN·m

답

Mx = 103.5 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 135.2 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (28800·120 − 1963·84)/(28800 − 1963) = 122.6 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·240³/12 + 28800·−2.634² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·50⁴/64 + 1963·−38.63² = 3.237 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 135.2 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 135.2 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σmax = 23.23 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 500 − 2·22 = 456 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·500³ − 156·456³)/12
Ix = 5.382 × 10⁸ mm⁴

휨 응력

y = 250 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·250/5.382 × 10⁸ = 23.23 MPa

답

σmax = 23.23 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: θp = −64.9 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·−30, −20 − 30) = −129.8°

요소에서의 각도

θp = −64.9°

답

θp = −64.9°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.6

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 70 MPa, R = 78.1 MPa
σ1 = 148.1 MPa, σ2 = −8.102 MPa, σ3 = 0

트레스카

σmax − σmin = 156.2 MPa
n = 250/156.2 = 1.6

답

n = 1.6

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: δmax = 51.14 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 51.14 mm

답

δmax = 51.14 mm
12.보의 처짐

답: RB = 14.06 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·45/16 = 14.06 kN

답

RB = 14.06 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 47.59 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1400² = 47586 N = 47.59 kN

답

Pcr = 47.59 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 36.26 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/7.5 = 233.3

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233.3² = 36.26 MPa

답

σcr = 36.26 MPa

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