재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 120 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

중공축이 1450 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0.7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P₁, C에 집중 하중 P₂이 작용한다. 하중 P₁ 아래의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP₁ = 30 kN 위치 3 mP₂ = 20 kN 위치 5 mx = 0과 x = 4 m에 지점

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 4 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 30 kN 위치 3 mw = 2 kN/m, 0부터 5 m까지x = 4 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 150 mm, 두께 24 mm이고, 전체 높이는 320 mm, 웨브 두께는 14 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 150 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σ_max을(를) 구하시오.

B = 150 mmH = 320 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mmM = 150 kN·m

σ_max = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 20 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 120 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (강철)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 14 kNw = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 1910 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 120·1000/314.2 = 382 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 382/200000 = 0.00191 = 1910 µε

답

ε = 1910 µε

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 24.64 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 80000·848230/973894 = 69677 N

응력

σ₂ = 69677/2827 = 24.64 MPa (압축)

답

σ₂ = 24.64 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 2.252 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(80000·79522) = 0.0393 rad

φ = 0.0393·180/π = 2.252°

답

φ = 2.252°

4.축의 비틀림

답: d_o = 20.67 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 98.79 N·m = 98786 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·98786/(π·75·0.7599)) = 20.67 mm

d_i = 0.7·20.67 = 14.47 mm

답

d_o = 20.67 mm

속이 찬 축이라면 d = 18.86 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 7.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·3 + 20·5

R_B = 190/4 = 47.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 47.5 = 2.5 kN

P₁ 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

M_x = R_A·3 = 2.5·3 = 7.5 kN·m

답

M_x = 7.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 22 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3 + 2·5·2.5

R_B = 115/5 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 23 = 17 kN

x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 17·4 − 30·(4 − 3) − 2·4·2 = 22 kN·m

답

M_x = 22 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 106.6 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

웨브: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·295 + 5600·140)/11600 = 220.2 mm

평행축 정리

플랜지: 200·30³/12 + 6000·(295 − 220.2)² = 3.405 × 10⁷ mm⁴

웨브: 20·280³/12 + 5600·(140 − 220.2)² = 7.258 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.405 × 10⁷ + 7.258 × 10⁷ = 1.066 × 10⁸ mm⁴ = 106.6 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 106.6 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_max = 132.2 MPa

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 320 − 2·24 = 272 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·320³ − 136·272³)/12

I_x = 1.815 × 10⁸ mm⁴

휨 응력

y = 160 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁸·160/1.815 × 10⁸ = 132.2 MPa

답

σ_max = 132.2 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 74.14 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 120 MPa, R = √(20² + 20²) = 28.28 MPa

σ₁ = 148.3 MPa, σ₂ = 91.72 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(56.57, 148.3, 91.72)/2 = 74.14 MPa

답

τ_abs = 74.14 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 85 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σ_θ = 45 + 75·0 + −40·−1 = 85 MPa

답

σ_θ = 85 MPa

11.보의 처짐

답: δ = 42.67 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 2·8000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 42.67 mm

답

δ = 42.67 mm

12.보의 처짐

답: δ_max = 43.91 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 14000 N, w = 15 N/mm, L = 6000 mm, EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(48EI) = 14000·6000³/(48·7.2 × 10¹²) = 8.75 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 35.16 mm

더하기

δ_max = 8.75 + 35.16 = 43.91 mm

답

δ_max = 43.91 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 15.5 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15.5 kN

답

P_cr = 15.5 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 14.16 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/7.5 = 373.3

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/373.3² = 14.16 MPa

답

σ_cr = 14.16 MPa

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재료역학: 벼락치기 팩

1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

축의 비틀림

방법

전단력과 휨 모멘트

방법

도심과 단면 2차 모멘트

모어 원과 응력 변환

방법

보의 처짐

기둥의 좌굴

2연습 문제

3용액

응력

변형률 (훅의 법칙)

답

강성

구간 2의 몫

응력

답

극관성 모멘트

비틀림각

답

토크

허용 응력에서 구한 바깥지름

답

지점 반력

P1 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

답

지점 반력

x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

답

두 직사각형으로 나누기

도심

평행축 정리

답

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

휨 응력

답

면내 주응력

세 원 중 가장 큰 원

답

변환 식

답

단위 맞추기

처짐

답

단위 맞추기

각 하중을 따로

더하기

답

최소 단면 2차 모멘트

유효 좌굴 길이

임계 하중

답

최소 단면 2차 모멘트

회전 반경과 세장비

임계 응력

답

P₁ 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다