재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 16 mm강철2 mP = 40 kN

축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 40 kNd = 16 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
30 kN12500 mm400 mmØ25Ø50σ2​ = ?

강철 구간(지름 25 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
d1​ = 50 mmd2​ = 20 mmT = 100 N·mABC2.5 m2.5 m

단이 진 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 2.5 m이고, 구간 BC는 지름 20 mm, 길이 2.5 m이다. 자유단 C에 토크 100 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 100 N·md1 = 50 mm, L1 = 2.5 md2 = 20 mm, L2 = 2.5 mG = 39 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
d = 50 mmTB​ = 1500 N·mTC​ = 1500 N·mABC1.5 m2.5 m

지름 50 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.5 m 떨어진 B에 토크 1500 N·m이(가), 거기서 2.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 1500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φC을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 50 mmTB = 1500 N·mTC = 1500 N·mAB = 1.5 mBC = 2.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.전단력과 휨 모멘트보통
M0​ = 45 kN·mAB9 m1 m

단순보의 A에서 x = 9 m인 곳에 시계 방향 우력 M0 = 45 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mM0 = 45 kN·m 시계 방향, 위치 9 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
8 kN/m15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

15 kN @ 12 m8 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
200160t = 16ȳ = ?치수 단위: mm

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 200 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 160 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 16 mm이다. 밑변에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 160 mmt = 16 mm
ȳ = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1601512020xM = 5 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.

bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 120 mmM = 5 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −40σy​ = 50MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = 50 MPa이다. 최대 주응력이 85 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = −40 MPaσy = 50 MPaσ1 = 85 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 40σy​ = 60τxy​ = 60MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 40 MPaσy = 60 MPaτxy = 60 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 15 kN/mP = 14 kNABδ2 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 14 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
P = 35 kNAB2 m2 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 35 kN 위치 2 m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2 md = 20 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 2 md = 40 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 1.989 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 40·1000/201.1 = 198.9 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 198.9/200000 = 0.0009947 = 994.7 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0009947·2000 mm = 1.989 mm

답

δ = 1.989 mm
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 11.46 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 30000·589049/785398 = 22500 N

응력

σ2 = 22500/1963 = 11.46 MPa (압축)

답

σ2 = 11.46 MPa
3.축의 비틀림

답: φC = 23.98 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 100000·2500/(39000·613592) = 0.01045 rad
φBC = 100000·2500/(39000·15708) = 0.4081 rad

전체 비틀림각

φC = 0.01045 + 0.4081 = 0.4185 rad = 23.98°

답

φC = 23.98°
4.축의 비틀림

답: φC = 19.75 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

내부 토크

TC의 방향을 양으로 잡습니다.

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC + TB = 1500 + 1500 = 3000 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 3 × 10⁶·1500/(39000·613592) = 0.188 rad
φBC = 1.5 × 10⁶·2500/(39000·613592) = 0.1567 rad

끝 C의 비틀림각

φC = 0.188 + 0.1567 = 0.3448 rad → |φC| = 19.75°

답

φC = 19.75°
5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 4.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: RB·L − M0 = 0. 연직 평형: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/10 = 4.5 kN (위쪽)
RA = −RB = −4.5 kN (아래쪽)

우력 바로 오른쪽에서 자른다

이제 왼쪽 부분에는 RA와 우력이 포함됩니다.

Mx = RA·a + M0 = −4.5·9 + 45 = 4.5 kN·m

답

Mx = 4.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 24.5 kN, R2 = 54.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 33, MC = 34, MD = 3, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

답

표시점 E: ME = −60 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: ȳ = 55.21 mm

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A1 = 200·16 = 3200 mm², y1 = 8 mm
두 다리: A2 = 2·16·144 = 4608 mm², y2 = 16 + 144/2 = 88 mm

도심

ȳ = (3200·8 + 4608·88)/7808 = 55.21 mm

답

ȳ = 55.21 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ아래 = 55.85 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 120 + 15/2 = 127.5 mm
웨브: Aw = 20·120 = 2400 mm², yw = 120/2 = 60 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·127.5 + 2400·60)/4800 = 93.75 mm

평행축 정리

플랜지: 160·15³/12 + 2400·(127.5 − 93.75)² = 2.779 × 10⁶ mm⁴
웨브: 20·120³/12 + 2400·(60 − 93.75)² = 5.614 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.779 × 10⁶ + 5.614 × 10⁶ = 8.393 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 93.75 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·93.75/8.393 × 10⁶ = 55.85 MPa

답

σ아래 = 55.85 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 66.14 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (−40 + 50)/2 = 5 MPa
R = σ1 − C = 85 − 5 = 80 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 45²) = 66.14 MPa

답

τxy = 66.14 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = −10 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 50 + −10·0 + 60·−1 = −10 MPa

답

σθ = −10 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 28.06 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 14000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δP = PL³/(3EI) = 14000·2000³/(3·2.4 × 10¹²) = 15.56 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 12.5 mm

더하기

δ = 15.56 + 12.5 = 28.06 mm

답

δ = 28.06 mm
12.보의 처짐

답: RB = 10.94 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·35/16 = 10.94 kN

답

RB = 10.94 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 3.876 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2000 = 2000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3.876 kN

답

Pcr = 3.876 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 49.35 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

답

σcr = 49.35 MPa

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