재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
100 kNØ30120 GPaØ100/60600 mmδ = ?

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
20 kN12300 mm500 mmØ25Ø50σ2​ = ?

강철 구간(지름 25 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 20 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
do​ = 30, di​ = 18 mmT = 200 N·mL = 1.5 m

강철 중공축(바깥지름 30 mm, 안지름 18 mm, 길이 1.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 200 N·mdo = 30 mmdi = 18 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = ?5 kW, 500 rpm

속이 찬 강철 축이 500 rpm에서 5 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 500 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 6 kN/mAB단면1 m4 m

지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mw = 6 kN/m, 0부터 5 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 2 kN/mABC5 m2.5 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. A에서 지점 사이의 반곡점(휨 모멘트의 부호가 바뀌는 점)까지의 거리 xc을(를) 구하시오.

L = 7.5 mw = 2 kN/m, 0부터 7.5 m까지x = 0과 x = 5 m에 지점
xc = m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120170t = 10ȳ = ?치수 단위: mm

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 120 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 170 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 10 mm이다. 밑변에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 170 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2202516016xM = 25 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.

bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 160 mmM = 25 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 150σy​ = −40τxy​ = −10MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = 150 MPaσy = −40 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
40°D = 1500 mm, t = 15 mm, p = 1.2 MPap

안지름 1500 mm, 벽 두께 15 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 40°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τn|을(를) 구하시오.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 1.2 MPaα = 40°
|τn| = MPa
11.보의 처짐보통
P = 16 kNABδ1 m1.5 m

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δB을(를) 구하시오.

P = 16 kNa = 1 mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.보의 처짐어려움
w = 20 kN/mδL = 1.5 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (강철)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
PL = 1 m20 × 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 1 md = 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.08058 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·5027 = 7.446 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 100000·600/7.446 × 10⁸ = 0.08058 mm

답

δ = 0.08058 mm
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 4.65 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 20000·274889/602139 = 9130 N

응력

σ2 = 9130/1963 = 4.65 MPa (압축)

답

σ2 = 4.65 MPa
3.축의 비틀림

답: φ = 3.104 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

비틀림각

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·1500/(80000·69216) = 0.05418 rad
φ = 0.05418·180/π = 3.104°

답

φ = 3.104°
4.축의 비틀림

답: d = 34.36 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m

강도 기준 지름

T = 95.49 N·m = 95493 N·mm
dτ = ∛(16·95493/(π·75)) = 18.65 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·95493/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 34.36 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(18.65, 34.36) = 34.36 mm

답

d = 34.36 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 12 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·5·2.5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15단면1 m4 m

x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 15·1 − 6·1·0.5 = 12 kN·m

답

Mx = 12 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: xc = 3.75 m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·7.5 = 15 kN, 작용점 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·7.5·3.75
RB = 56.25/5 = 11.25 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 11.25 = 3.75 kN

모멘트 0

지점 사이에서 M(x) = RA·x − w·x²/2. x = 0을 제외하면 x = 2RA/w에서 0이 됩니다.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·3.75/2 = 3.75 m

답

xc = 3.75 m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: ȳ = 66.82 mm

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A1 = 120·10 = 1200 mm², y1 = 5 mm
두 다리: A2 = 2·10·160 = 3200 mm², y2 = 10 + 160/2 = 90 mm

도심

ȳ = (1200·5 + 3200·90)/4400 = 66.82 mm

답

ȳ = 66.82 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ위 = 50.59 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 160 + 25/2 = 172.5 mm
웨브: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5500·172.5 + 2560·80)/8060 = 143.1 mm

평행축 정리

플랜지: 220·25³/12 + 5500·(172.5 − 143.1)² = 5.034 × 10⁶ mm⁴
웨브: 16·160³/12 + 2560·(80 − 143.1)² = 1.566 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.034 × 10⁶ + 1.566 × 10⁷ = 2.069 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 185 − 143.1 = 41.88 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·41.88/2.069 × 10⁷ = 50.59 MPa

답

σ위 = 50.59 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: θp = −3.005 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·−10, 150 − −40) = −6.009°

요소에서의 각도

θp = −3.005°

답

θp = −3.005°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: |τn| = 14.77 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 1.2·750/15 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τn| = (60 − 30)·sin 40°·cos 40° = 14.77 MPa

답

|τn| = 14.77 MPa
11.보의 처짐

답: δB = 43.77 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 16000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

자유단의 처짐

하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.

δP = Pa³/(3EI) = 13.47 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.0202 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 43.77 mm

답

δB = 43.77 mm
12.보의 처짐

답: Ireq = 1.582 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·1500⁴/(384·200000·4.167) = 1.582 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.582 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 1.582 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 65.8 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1000 = 1000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1000² = 65797 N = 65.8 kN

답

Pcr = 65.8 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 111 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa

답

σcr = 111 MPa

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