재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
300 kNØ20110 GPaØ120/60600 mmδ = ?

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 300 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 30 mm황동1.5 mØ 12 mm알루미늄2 mP = 60 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 60 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
d = 12 mmT = 50 N·m300 mmφ = 5.28°

비틀림 시험에서 지름 12 mm인 속이 찬 시편에 토크 50 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 300 mm의 양 끝이 서로 5.28° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 50 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 5.28°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1450 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
5 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

50 kN @ 2 m5 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
15 kN/m45 kN10 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

45 kN @ 0 m10 kN @ 12 m60 kN @ 4 m15 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
1601018016x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1002016010xM = 50 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 50 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 160 mmM = 50 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 20σy​ = 120τxy​ = −40MPa

한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 20° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.

σx = 20 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −30σy​ = −10τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = −30 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 6 kN/mδL = 4 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
w = 12 kN/mAB5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 5 mw = 12 kN/m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 5 md = 40 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 6 md = 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1807 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·8482 = 9.959 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 300000·600/9.959 × 10⁸ = 0.1807 mm

답

δ = 0.1807 mm
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 530.5 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 84.88 MPa
σ2 = 530.5 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 530.5 MPa

답

σmax = 530.5 MPa
3.축의 비틀림

답: G = 79.96 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 5.28·π/180 = 0.09215 rad

전단 탄성 계수

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·300/(2036·0.09215) = 79957 MPa
G = 79.96 GPa

답

G = 79.96 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: d = 20.32 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·131714/(π·80)) = 20.32 mm

답

d = 20.32 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: C (x = 2 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 43.33 kN, R2 = 26.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 43.33, MC = 84.17 kN·m, MD = 70, ME = 50.83, MF = 26.67, MG = 0

답

표시점 C: MC = 84.17 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: B (x = 2 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 138.3 kN, R2 = 66.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −90 kN·m, MC = 66.67, MD = 43.33, ME = −40, MF = −20, MG = 0

답

표시점 B: MB = −90 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 17.07 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
웨브: Aw = 16·180 = 2880 mm², yw = 180/2 = 90 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·185 + 2880·90)/4480 = 123.9 mm

평행축 정리

플랜지: 160·10³/12 + 1600·(185 − 123.9)² = 5.981 × 10⁶ mm⁴
웨브: 16·180³/12 + 2880·(90 − 123.9)² = 1.109 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.981 × 10⁶ + 1.109 × 10⁷ = 1.707 × 10⁷ mm⁴ = 17.07 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 17.07 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ위 = 234.1 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm
웨브: Aw = 10·160 = 1600 mm², yw = 160/2 = 80 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·170 + 1600·80)/3600 = 130 mm

평행축 정리

플랜지: 100·20³/12 + 2000·(170 − 130)² = 3.267 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·160³/12 + 1600·(80 − 130)² = 7.413 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.267 × 10⁶ + 7.413 × 10⁶ = 1.068 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 180 − 130 = 50 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·50/1.068 × 10⁷ = 234.1 MPa

답

σ위 = 234.1 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: σy′ = 82.59 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σy′ = 70 − (−50)·0.766 − (−40)·(−0.6428) = 82.59 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σx′ = 57.41 MPa, σx′ + σy′ = 140 = σx + σy

답

σy′ = 82.59 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 4.771 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = −20 + −10·0.342 + 30·0.9397 = 4.771 MPa

답

σθ = 4.771 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 22.86 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 22.86 mm

답

δ = 22.86 mm
12.보의 처짐

답: RB = 22.5 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22.5 kN

답

RB = 22.5 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 2.481 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·5000 = 10000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2.481 kN

답

Pcr = 2.481 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 21.93 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/20 = 300

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

답

σcr = 21.93 MPa

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