축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 50 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 40 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 40 mm, 길이 0.8 m이고, 구간 BC는 지름 20 mm, 길이 0.5 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·md1 = 40 mm, L1 = 0.8 md2 = 20 mm, L2 = 0.5 mG = 39 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 500 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 100 kWN = 500 rpmdo = 60 mmdi = 42 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
20 kN @ 6 m5 kN/m, 4–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
20 kN @ 12 m50 kN @ 2 m12 kN/m, 0–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 150 × 12 mm, 웨브는 높이 280 mm, 두께 12 mm, 하부 플랜지는 290 × 12 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
상부 플랜지: 150 × 12 mm웨브: 12 × 280 mm하부 플랜지: 290 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = 30 MPa이다. 최대 주응력이 150 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 90 MPaσy = 30 MPaσ1 = 150 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −20 MPaσy = −10 MPaτxy = 20 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.
w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (강철)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 80 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 80 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 2.387 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 159.2/100000 = 0.001592 = 1592 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.001592·1500 mm = 2.387 mm
답
δ = 2.387 mm
2.축 응력과 변형률
답: σ2 = 9.676 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 70000·706.9/400 = 123700 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 30000·123700/542579 = 6840 N
응력
σ2 = 6840/706.9 = 9.676 MPa (압축)
답
σ2 = 9.676 MPa
3.축의 비틀림
답: φC = 10.29 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J1 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
각 구간의 비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 200000·800/(39000·251327) = 0.01632 rad
φBC = 200000·500/(39000·15708) = 0.1632 rad
전체 비틀림각
φC = 0.01632 + 0.1632 = 0.1796 rad = 10.29°
답
φC = 10.29°
4.축의 비틀림
답: τmax = 59.26 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
극관성 모멘트
J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 1.91 × 10⁶·30/966855 = 59.26 MPa
답
τmax = 59.26 MPa
5.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 6 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 20 kN, R2 = 20 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 40, MC = 80, MD = 110 kN·m, ME = 80, MF = 40, MG = 0
답
표시점 D: MD = 110 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: B (x = 2 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 75.5 kN, R2 = 90.5 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 127 kN·m, MC = 106, MD = 37, ME = −80, MF = −40, MG = 0
답
표시점 B: MB = 127 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 7.706 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 100 + 30/2 = 115 mm
웨브: Aw = 20·100 = 2000 mm², yw = 100/2 = 50 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·115 + 2000·50)/6200 = 94.03 mm
평행축 정리
플랜지: 140·30³/12 + 4200·(115 − 94.03)² = 2.162 × 10⁶ mm⁴
웨브: 20·100³/12 + 2000·(50 − 94.03)² = 5.544 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.162 × 10⁶ + 5.544 × 10⁶ = 7.706 × 10⁶ mm⁴ = 7.706 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 7.706 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 127.6 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 1800 mm², y = 298 mm
웨브: A = 3360 mm², y = 152 mm
하부 플랜지: A = 3480 mm², y = 6 mm
도심
ȳ = (1800·298 + 3360·152 + 3480·6)/8640 = 123.6 mm
평행축 정리
상부 플랜지: 150·12³/12 + 1800·174.4² = 5.476 × 10⁷ mm⁴
웨브: 12·280³/12 + 3360·28.39² = 2.466 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 290·12³/12 + 3480·117.6² = 4.818 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.476 × 10⁷ + 2.466 × 10⁷ + 4.818 × 10⁷
Ix = 1.276 × 10⁸ mm⁴ = 127.6 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 127.6 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 84.85 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (90 + 30)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 150 − 60 = 90 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 30²) = 84.85 MPa
답
τxy = 84.85 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 5 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = −15 + −5·0 + 20·1 = 5 MPa
답
σθ = 5 MPa
11.보의 처짐
답: θA = 0.01532 rad
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
끝 처짐각
θA = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.01532 rad
답
θA = 0.01532 rad
0.8777°입니다.
12.보의 처짐
답: Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·8000⁴/(384·200000·22.22) = 7.2 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 23.32 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·1000 = 2000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2000² = 23317 N = 23.32 kN
답
Pcr = 23.32 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 72.94 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 72.94 mm
답
d = 72.94 mm
확인: 세장비 KL/r는 109.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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