축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 95 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 3000 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 100 kWN = 3000 rpmdo = 75 mmdi = 53 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
50 kN @ 4 m5 kN/m, 2–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. A에서 지점 사이의 반곡점(휨 모멘트의 부호가 바뀌는 점)까지의 거리 xc을(를) 구하시오.
L = 7 mw = 2 kN/m, 0부터 7 m까지x = 0과 x = 6 m에 지점
xc = m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
원형 관의 바깥지름은 D = 80 mm, 안지름은 d = 64 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.
D = 80 mmd = 64 mm
r = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
100 mm × 240 mm 판에 폭 60 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 144 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 240 mm절취부: 60 × 40 mm구멍 중심: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 120 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 80 MPaσy = −10 MPaτxy = −40 MPaθ = 45°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
w = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 60 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 60 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 1149 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 95·1000/706.9 = 134.4 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 134.4/117000 = 0.001149 = 1149 µε
답
ε = 1149 µε
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 438.7 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8.042 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.0006, 0.0005455) = 0.0005455 (청동)
최대 하중
Pmax = 0.0005455·8.042 × 10⁸ = 438681 N = 438.7 kN
답
Pmax = 438.7 kN
3.축의 비틀림
답: φ = 0.8754 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(80000·613592) = 0.01528 rad
φ = 0.01528·180/π = 0.8754°
답
φ = 0.8754°
4.축의 비틀림
답: τmax = 5.119 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m
극관성 모멘트
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 318310·37.5/2.332 × 10⁶ = 5.119 MPa
답
τmax = 5.119 MPa
5.전단력과 휨 모멘트
답: C (x = 4 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 53.33 kN, R2 = 36.67 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 106.7, MC = 203.3 kN·m, MD = 180, ME = 136.7, MF = 73.33, MG = 0
답
표시점 C: MC = 203.3 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: xc = 5.833 m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, 작용점 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·7·3.5
RB = 49/6 = 8.167 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 8.167 = 5.833 kN
모멘트 0
지점 사이에서 M(x) = RA·x − w·x²/2. x = 0을 제외하면 x = 2RA/w에서 0이 됩니다.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·5.833/2 = 5.833 m
답
xc = 5.833 m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: r = 25.61 mm
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.
순단면적과 단면 2차 모멘트
A = π(D² − d²)/4 = 1810 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.187 × 10⁶ mm⁴
회전 반지름
r = √(I/A) = √(1.187 × 10⁶/1810) = 25.61 mm
답
r = 25.61 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 113.3 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (24000·120 − 2400·144)/(24000 − 2400) = 117.3 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·240³/12 + 24000·2.667² = 115.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
60·40³/12 + 2400·26.67² = 2.027 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 113.3 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 113.3 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = −18.78 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·−50, 120 − −10) = −37.57°
요소에서의 각도
θp = −18.78°
답
θp = −18.78°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = −45 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −45·1 + −40·0 = −45 MPa
답
τθ = −45 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 2.484 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
처짐
δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 2.484 mm
답
δ = 2.484 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 14.46 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·3000⁴/(384·70000·8.333) = 1.446 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 14.46 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 14.46 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 27.47 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·1000 = 1000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27.47 kN
답
Pcr = 27.47 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 86.74 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·60000 = 120000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 86.74 mm
답
d = 86.74 mm
확인: 세장비 KL/r는 184.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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