재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
P = ?12300 mm500 mmØ30Ø30δ = 0.4 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm구리1 mØ 12 mm황동0.5 mP = 60 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 60 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
T = 500 N·md = 30 mmL = 0.5 mφ = ?

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 500 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 50 mmTB​ = 400 N·mTC​ = 1000 N·mABC0.8 m1.5 m

지름 50 mm인 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 400 N·m이(가), 거기서 1.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 1000 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 50 mmTB = 400 N·mTC = 1000 N·mAB = 0.8 mBC = 1.5 m
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 35 kNP2​ = 30 kNAB1.5 m1 m3.5 m

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 6 mP1 = 35 kN 위치 1.5 mP2 = 30 kN 위치 2.5 m
Mmax = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
6 kN/m30 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

30 kN @ 6 m45 kN @ 1 m6 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
xD = 260d = 228치수 단위: mm

원형 관의 바깥지름은 D = 260 mm, 안지름은 d = 228 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

D = 260 mmd = 228 mm
r = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
200 mm240 mm72 mm50 × 40xIx​ = ?

200 mm × 240 mm 판에 폭 50 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 72 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 240 mm절취부: 50 × 40 mm구멍 중심: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 150σy​ = 40τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = 150 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​τxy​축의 표면

지름 60 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 200 kN와(과) 토크 750 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.

d = 60 mmF = 200 kNT = 750 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
P = 9 kNABδ6.5 m1.5 m

단순보의 지점 A에서 a = 6.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 9 kNa = 6.5 mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
P = 30 kNAB2 m2 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 30 kN 위치 2 m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 5 md = 25 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 5 md = 30 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 46.77 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·706.9) = 6.431 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.4/8.553 × 10⁻⁶ = 46770 N = 46.77 kN

답

P = 46.77 kN
2.축 응력과 변형률

답: δ = 3.061 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 47.75 MPa
σ2 = 530.5 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 47.75·1000/117000 = 0.4081 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 530.5·500/100000 = 2.653 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.061 mm

답

δ = 3.061 mm
3.축의 비틀림

답: φ = 4.619 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·79522) = 0.08061 rad
φ = 0.08061·180/π = 4.619°

답

φ = 4.619°
4.축의 비틀림

답: τmax = 57.04 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

내부 토크

TC의 방향을 양으로 잡습니다.

TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC + TB = 1000 + 400 = 1400 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|max = 1400 N·m
τmax = 16·1.4 × 10⁶/(π·50³) = 57.04 MPa

답

τmax = 57.04 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 74.38 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·1.5 + 30·2.5
RB = 127.5/6 = 21.25 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 21.25 = 43.75 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P1: M = RA·1.5 = 43.75·1.5 = 65.63 kN·m
아래 P2: M = RB·3.5 = 21.25·3.5 = 74.38 kN·m

최댓값

Mmax = 74.38 kN·m (아래 P2)

답

Mmax = 74.38 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 30.75 kN, R2 = 68.25 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 27.75, MC = 4.5, MD = −24.75, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

답

표시점 E: ME = −60 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 86.45 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

A = π(D² − d²)/4 = 12265 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 9.167 × 10⁷ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(9.167 × 10⁷/12265) = 86.45 mm

답

r = 86.45 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 225.3 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (48000·120 − 2000·72)/(48000 − 2000) = 122.1 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·240³/12 + 48000·−2.087² = 230.6 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

50·40³/12 + 2000·−50.09² = 5.284 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 225.3 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 225.3 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: θp = 14.31 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·30, 150 − 40) = 28.61°

요소에서의 각도

θp = 14.31°

답

θp = 14.31°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ1 = 74.91 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = F/A = 200000/(π·60²/4) = 200000/2827 = 70.74 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·60³) = 17.68 MPa
στxyCσ1​σ2​

모어 원

C = σ/2 = 35.37 MPa
R = √(35.37² + 17.68²) = 39.54 MPa
σ1 = C + R = 74.91 MPa
σ2 = C − R = −4.175 MPa

답

σ1 = 74.91 MPa
11.보의 처짐

답: δP = 6.063 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 9000 N, a = 6500 mm, b = 1500 mm, L = 8000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa²b²/(3EIL) = 9000·6500²·1500²/(3·5.88 × 10¹²·8000) = 6.063 mm

답

δP = 6.063 mm
12.보의 처짐

답: RB = 9.375 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·30/16 = 9.375 kN

답

RB = 9.375 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 2.12 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2500² = 2120 N = 2.12 kN

답

Pcr = 2.12 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 6.218 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/7.5 = 333.3

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333.3² = 6.218 MPa

답

σcr = 6.218 MPa

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