재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 250 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 1800 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 M_A을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 2 mP = 65 kN 위치 1.5 mw = 6 kN/m, 0부터 2 m까지

M_A = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

45 kN @ 12 m15 kN @ 2 m5 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 40 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 10 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 460 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.보의 처짐보통

단순보의 지점 A에서 a = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δ_P을(를) 구하시오.

P = 23 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 22 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.3617 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·5027 = 4.147 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 250000·600/4.147 × 10⁸ = 0.3617 mm

답

δ = 0.3617 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 36.38 MPa

강성

k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 80000·376991/659734 = 45714 N

응력

σ₂ = 45714/1257 = 36.38 MPa (압축)

답

σ₂ = 36.38 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 1.197 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(39000·613592) = 0.02089 rad

φ = 0.02089·180/π = 1.197°

답

φ = 1.197°

4.축의 비틀림

답: d = 18.9 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 20000/188.5 = 106.1 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·80)) = 18.9 mm

답

d = 18.9 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_A = −109.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −65·1.5 = −97.5 kN·m

w: −6·2²/2 = −12 kN·m

M_A = −97.5 − 12 = −109.5 kN·m

답

M_A = −109.5 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 10 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 28 kN, R₂ = 82 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 46, M_C = 42, M_D = 18, M_E = −26, M_F = −90 kN·m, M_G = 0

답

표시점 F: M_F = −90 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 46.73 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

웨브: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·255 + 2400·120)/11400 = 226.6 mm

평행축 정리

플랜지: 300·30³/12 + 9000·(255 − 226.6)² = 7.945 × 10⁶ mm⁴

웨브: 10·240³/12 + 2400·(120 − 226.6)² = 3.878 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.945 × 10⁶ + 3.878 × 10⁷ = 4.673 × 10⁷ mm⁴ = 46.73 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 46.73 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 286.8 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172.5 mm

웨브: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·172.5 + 2560·80)/6560 = 136.4 mm

평행축 정리

플랜지: 160·25³/12 + 4000·(172.5 − 136.4)² = 5.42 × 10⁶ mm⁴

웨브: 16·160³/12 + 2560·(80 − 136.4)² = 1.361 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.42 × 10⁶ + 1.361 × 10⁷ = 1.903 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 136.4 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·136.4/1.903 × 10⁷ = 286.8 MPa

답

σ_아래 = 286.8 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 60.21 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((10 − 100)/2)² + 40²) = 60.21 MPa

답

τ_max = 60.21 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: n = 3.538

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 55 MPa, R = 65 MPa

σ₁ = 120 MPa, σ₂ = −10 MPa, σ₃ = 0

트레스카

σ_max − σ_min = 130 MPa

n = 460/130 = 3.538

답

n = 3.538

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: δ_P = 5.808 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 23000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·2000²·1000²/(3·1.76 × 10¹²·3000) = 5.808 mm

답

δ_P = 5.808 mm

12.보의 처짐

답: δ_max = 1.159 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 22000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·2000³/(48·4.6 × 10¹²) = 0.7971 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 0.3623 mm

더하기

δ_max = 0.7971 + 0.3623 = 1.159 mm

답

δ_max = 1.159 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 16.82 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16.82 kN

답

P_cr = 16.82 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 9.715 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7.5 = 266.7

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

답

σ_cr = 9.715 MPa

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