축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 150 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 110 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
알루미늄 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 35 mm, 길이 1.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 1000 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 1000 N·mdo = 50 mmdi = 35 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
중공축이 750 rpm에서 100 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
P = 100 kWN = 750 rpmdi/do = 0.7τallow = 40 MPa
do = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 하중 P1 아래의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP1 = 35 kN 위치 1 mP2 = 15 kN 위치 5 mx = 0과 x = 4 m에 지점
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 8 mP = 20 kN 위치 5 mw = 2 kN/m, 0부터 8 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm × 300 mm 판에 폭 40 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 120 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 300 mm절취부: 40 × 50 mm구멍 중심: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 10 MPaσy = −70 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
지름 25 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 100 N·m와(과) 토크 750 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 25 mmM = 100 N·mT = 750 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
P = 10 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
단순보의 지점 B에서 b = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 14 kNb = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 25 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 0.1162 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·9346 = 1.033 × 10⁹ N
줄어든 길이
δ = 150000·800/1.033 × 10⁹ = 0.1162 mm
답
δ = 0.1162 mm
2.축 응력과 변형률
답: σmax = 547.1 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 224.1 MPa
σ2 = 547.1 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 547.1 MPa
답
σmax = 547.1 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 7.089 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
비틀림각
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1500/(26000·466269) = 0.1237 rad
φ = 0.1237·180/π = 7.089°
답
φ = 7.089°
4.축의 비틀림
답: do = 59.75 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 1273 N·m = 1.273 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·40·0.7599)) = 59.75 mm
di = 0.7·59.75 = 41.83 mm
답
do = 59.75 mm
속이 찬 축이라면 d = 54.53 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 22.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.
ΣMA = 0: RB·4 = 35·1 + 15·5
RB = 110/4 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 27.5 = 22.5 kN
P1 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다
Mx = RA·1 = 22.5·1 = 22.5 kN·m
답
Mx = 22.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 52.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·5 + 2·8·4
RB = 164/8 = 20.5 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 20.5 = 15.5 kN
V = 0인 곳은?
V(5⁻) = RA − w·5 = 5.5 kN
V(5⁺) = 5.5 − 20 = −14.5 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.
최대 모멘트
Mmax = RA·5 − w·5²/2 = 15.5·5 − 2·5²/2 = 52.5 kN·m
답
Mmax = 52.5 kN·m
A에서 x = 5 m인 곳에서 생깁니다.
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 10.03 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 140 + 15/2 = 147.5 mm
웨브: Aw = 12·140 = 1680 mm², yw = 140/2 = 70 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·147.5 + 1680·70)/5880 = 125.4 mm
평행축 정리
플랜지: 280·15³/12 + 4200·(147.5 − 125.4)² = 2.138 × 10⁶ mm⁴
웨브: 12·140³/12 + 1680·(70 − 125.4)² = 7.892 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.138 × 10⁶ + 7.892 × 10⁶ = 1.003 × 10⁷ mm⁴ = 10.03 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 10.03 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 267.7 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (36000·150 − 2000·120)/(36000 − 2000) = 151.8 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·300³/12 + 36000·−1.765² = 270.1 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
40·50³/12 + 2000·−31.76² = 2.435 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 267.7 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 267.7 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 64.03 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((10 − −70)/2)² + 50²) = 64.03 MPa
답
τmax = 64.03 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 279.2 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·25³) = 65.19 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·25³) = 244.5 MPa
모어 원
C = σ/2 = 32.59 MPa
R = √(32.59² + 244.5²) = 246.6 MPa
σ1 = C + R = 279.2 MPa
σ2 = C − R = −214 MPa
답
σ1 = 279.2 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 3.041 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 10000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(3EI) = 10000·2000³/(3·1.14 × 10¹³) = 2.339 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 0.7018 mm
더하기
δ = 2.339 + 0.7018 = 3.041 mm
답
δ = 3.041 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 2.058 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 14000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
최댓값의 위치
더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.
x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm
최대 처짐
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 2.058 mm
답
δmax = 2.058 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 62.01 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62.01 kN
답
Pcr = 62.01 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 93.8 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 93.8 mm
답
d = 93.8 mm
확인: 세장비 KL/r는 426.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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