축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 80 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 100 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
중공축이 토크 250 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
T = 250 N·mdi/do = 0.6τallow = 40 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 500 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 15 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
25 kN @ 4 m4 kN/m, 2–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP = 60 kN 위치 1 mw = 8 kN/m, 0부터 5 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 160 mm, 두께 20 mm이고, 전체 높이는 280 mm, 웨브 두께는 12 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
B = 160 mmH = 280 mmtf = 20 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 130 × 16 mm, 웨브는 높이 270 mm, 두께 14 mm, 하부 플랜지는 260 × 20 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
상부 플랜지: 130 × 16 mm웨브: 14 × 270 mm하부 플랜지: 260 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −70 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = −70 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
안지름 400 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 30°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τn|을(를) 구하시오.
D = 400 mmt = 8 mmp = 1.2 MPaα = 30°
|τn| = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보의 지점 B에서 b = 1.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 13 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 50 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 50 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 10105 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 80·1000/113.1 = 707.4 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 707.4/70000 = 0.01011 = 10105 µε
답
ε = 10105 µε
2.축 응력과 변형률
답: σ2 = 29.41 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 70000·706.9/300 = 164934 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 100000·164934/793252 = 20792 N
응력
σ2 = 20792/706.9 = 29.41 MPa (압축)
답
σ2 = 29.41 MPa
3.축의 비틀림
답: do = 33.19 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·40·0.8704)) = 33.19 mm
di = 0.6·33.19 = 19.92 mm
답
do = 33.19 mm
속이 찬 축이라면 d = 31.69 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
4.축의 비틀림
답: d = 33.16 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·286479/(π·40)) = 33.16 mm
답
d = 33.16 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: E (x = 4 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 12.33 kN, R2 = 20.67 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 12.33, MC = 24.67, MD = 35, ME = 41.33 kN·m, MF = 20.67, MG = 0
답
표시점 E: ME = 41.33 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 64 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·1 + 8·5·2.5
RB = 160/5 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 32 = 68 kN
x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 68·1 − 8·1·0.5 = 64 kN·m
답
Mx = 64 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 122.2 × 10⁶ mm⁴
단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.
hw = 280 − 2·20 = 240 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·280³ − 148·240³)/12
Ix = 1.222 × 10⁸ mm⁴ = 122.2 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 122.2 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 156.2 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 2080 mm², y = 298 mm
웨브: A = 3780 mm², y = 155 mm
하부 플랜지: A = 5200 mm², y = 10 mm
도심
ȳ = (2080·298 + 3780·155 + 5200·10)/11060 = 113.7 mm
평행축 정리
상부 플랜지: 130·16³/12 + 2080·184.3² = 7.068 × 10⁷ mm⁴
웨브: 14·270³/12 + 3780·41.28² = 2.94 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 260·20³/12 + 5200·103.7² = 5.611 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.068 × 10⁷ + 2.94 × 10⁷ + 5.611 × 10⁷
Ix = 1.562 × 10⁸ mm⁴ = 156.2 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 156.2 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = −86.83 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·−10, −70 − 110) = −173.7°
요소에서의 각도
θp = −86.83°
답
θp = −86.83°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: |τn| = 6.495 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.
벽의 응력
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1.2·200/8 = 30 MPa
σa = pr/(2t) = 15 MPa
이음매 방향으로 변환
x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.
|τn| = (30 − 15)·sin 30°·cos 30° = 6.495 MPa
답
|τn| = 6.495 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 53.47 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 4 N/mm, L = 8000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 53.47 mm
답
δmax = 53.47 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 1.898 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 13000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
최댓값의 위치
더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.
x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm
최대 처짐
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1.898 mm
답
δmax = 1.898 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 5.118 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·3000 = 6000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/6000² = 5118 N = 5.118 kN
답
Pcr = 5.118 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 70.55 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 70.55 mm
답
d = 70.55 mm
확인: 세장비 KL/r는 226.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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