축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 10 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 20 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 300 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 15 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 4.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mw = 10 kN/m, 0부터 6 m까지x = 4.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP = 45 kN 위치 4 mw = 5 kN/m, 0부터 5 m까지x = 2 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 300 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 140 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 18 mm이다. 밑변에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.
b = 300 mmh = 140 mmt = 18 mm
ȳ = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 60 MPa, 압축 90 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.
bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 220 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 50 MPaσy = 40 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 60 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPaθ = 60°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 6 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 150 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 150 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 0.2612 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 10·1000/490.9 = 20.37 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 20.37/117000 = 0.0001741 = 174.1 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.0001741·1500 mm = 0.2612 mm
답
δ = 0.2612 mm
2.축 응력과 변형률
답: σ2 = 7.89 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 20000·431969/557633 = 15493 N
응력
σ2 = 15493/1963 = 7.89 MPa (압축)
답
σ2 = 7.89 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 7.015 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(26000·251327) = 0.1224 rad
φ = 0.1224·180/π = 7.015°
답
φ = 7.015°
4.축의 비틀림
답: d = 31.89 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·75)) = 31.89 mm
답
d = 31.89 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 33.75 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
x = 4.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 30·4.5 − 10·4.5·2.25 = 33.75 kN·m
답
Mx = 33.75 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 33 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·4 + 5·5·2.5
RB = 242.5/5 = 48.5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 48.5 = 21.5 kN
x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 21.5·2 − 5·2·1 = 33 kN·m
답
Mx = 33 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: ȳ = 40.4 mm
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
직사각형으로 나누기
밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.
기제: A1 = 300·18 = 5400 mm², y1 = 9 mm
두 다리: A2 = 2·18·122 = 4392 mm², y2 = 18 + 122/2 = 79 mm
도심
ȳ = (5400·9 + 4392·79)/9792 = 40.4 mm
답
ȳ = 40.4 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Mallow = 15.01 kN·m
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
도심
ȳ = (3300·227.5 + 3960·110)/7260 = 163.4 mm
윗면 가장자리: c = 235 − 163.4 = 71.59 mm
단면 2차 모멘트
I = 220·15³/12 + 3300·64.09² + 18·220³/12 + 3960·53.41² = 4.089 × 10⁷ mm⁴
각 가장자리가 허용하는 모멘트
정모멘트: 위는 압축, 아래는 인장입니다.
윗면 가장자리: M = 90·4.089 × 10⁷/71.59 = 51.4 kN·m
아랫면 가장자리: M = 60·4.089 × 10⁷/163.4 = 15.01 kN·m
지배 값
Mallow = min = 15.01 kN·m (아랫면 가장자리)
답
Mallow = 15.01 kN·m
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = −40.27 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·−30, 50 − 40) = −80.54°
요소에서의 각도
θp = −40.27°
답
θp = −40.27°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 32.32 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −−20·0.866 + −30·−0.5 = 32.32 MPa
답
τθ = 32.32 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 77.88 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 77.88 mm
답
δmax = 77.88 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 11.29 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 6000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(48EI) = 6000·3000³/(48·1.7 × 10¹²) = 1.985 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 9.306 mm
더하기
δmax = 1.985 + 9.306 = 11.29 mm
답
δmax = 11.29 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 137.1 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·1500 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/3000² = 137078 N = 137.1 kN
답
Pcr = 137.1 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 54.93 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·150000 = 450000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 54.93 mm
답
d = 54.93 mm
확인: 세장비 KL/r는 102이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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