재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 12 mm구리3 mP = 110 kN

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 110 kNd = 12 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm황동2 mØ 20 mm강철0.5 mP = 80 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 80 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
d = ?T = 100 N·mL = 2.5 m

길이 2.5 m인 속이 찬 알루미늄 축이 토크 100 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 1.5°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 100 N·mL = 2.5 mG = 26 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1000 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 5 kN/mAB단면8.5 m1.5 m

지점 A에서 x = 8.5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mw = 5 kN/m, 0부터 10 m까지x = 8.5 m
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
20 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

20 kN @ 0 m40 kN @ 12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
1601522012x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1601530020xM = 40 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.

bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 300 mmM = 40 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 150σy​ = 100τxy​ = −60MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −60 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = 150 MPaσy = 100 MPaτxy = −60 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 80σy​ = 100τxy​ = −40MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 40° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 80 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPaθ = 40°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 10 kN/mABθ5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.보의 처짐어려움
w = 12 kN/mδL = 3 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
PL = 1.5 m25 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 90 kNL = 1 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 90 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 90 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 24.94 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/113.1 = 972.6 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 972.6/117000 = 0.008313 = 8313 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.008313·3000 mm = 24.94 mm

답

δ = 24.94 mm
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 254.6 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 163 MPa
σ2 = 254.6 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 254.6 MPa

답

σmax = 254.6 MPa
3.축의 비틀림

답: d = 43.98 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·2500/(26000·0.02618) = 367281 mm⁴

지름

d = (32J/π)1/4 = 43.98 mm

답

d = 43.98 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: d = 26.89 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 30000/104.7 = 286.5 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·286479/(π·75)) = 26.89 mm

답

d = 26.89 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = −17.5 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25단면8.5 m1.5 m

x = 8.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 25 − 5·8.5 = −17.5 kN

답

Vx = −17.5 kN
6.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 10 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 15 kN, R2 = 45 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −40, MC = −50, MD = −60, ME = −70, MF = −80 kN·m, MG = 0

답

표시점 F: MF = −80 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 28.05 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 220 + 15/2 = 227.5 mm
웨브: Aw = 12·220 = 2640 mm², yw = 220/2 = 110 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·227.5 + 2640·110)/5040 = 166 mm

평행축 정리

플랜지: 160·15³/12 + 2400·(227.5 − 166)² = 9.136 × 10⁶ mm⁴
웨브: 12·220³/12 + 2640·(110 − 166)² = 1.891 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.136 × 10⁶ + 1.891 × 10⁷ = 2.805 × 10⁷ mm⁴ = 28.05 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 28.05 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ위 = 54.81 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 300 + 15/2 = 307.5 mm
웨브: Aw = 20·300 = 6000 mm², yw = 300/2 = 150 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·307.5 + 6000·150)/8400 = 195 mm

평행축 정리

플랜지: 160·15³/12 + 2400·(307.5 − 195)² = 3.042 × 10⁷ mm⁴
웨브: 20·300³/12 + 6000·(150 − 195)² = 5.715 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.042 × 10⁷ + 5.715 × 10⁷ = 8.757 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 315 − 195 = 120 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·120/8.757 × 10⁷ = 54.81 MPa

답

σ위 = 54.81 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 95 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

στxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = 125 MPa, R = √(25² + (−60)²) = 65 MPa
σ1 = 190 MPa, σ2 = 60 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(130, 190, 60)/2 = 95 MPa

답

τabs = 95 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 48.87 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 90 + −10·0.1736 + −40·0.9848 = 48.87 MPa

답

σθ = 48.87 MPa
11.보의 처짐

답: θA = 0.00465 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

끝 처짐각

θA = wL³/(24EI) = 10·5000³/(24·1.12 × 10¹³) = 0.00465 rad

답

θA = 0.00465 rad

0.2664°입니다.

12.보의 처짐

답: Ireq = 138.1 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·3000⁴/(384·11000·8.333) = 1.381 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 138.1 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 138.1 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 233.1 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1050² = 233126 N = 233.1 kN

답

Pcr = 233.1 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 52.21 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 52.21 mm

답

d = 52.21 mm

확인: 세장비 KL/r는 153.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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