재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 25 mm구리2.5 mP = 25 kN

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 25 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø30120 GPaØ120/50500 mm

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 250 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = ?5 kW, 1000 rpm

속이 찬 알루미늄 축이 1000 rpm에서 5 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
4 kN/m35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

35 kN @ 3 m4 kN/m, 1–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 4 kN/mP = 30 kNAB단면3.5 m2.5 m

지점 A에서 x = 3.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 30 kN 위치 3.5 mw = 4 kN/m, 0부터 6 m까지x = 3.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
1201022012x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1802530014x정모멘트 M치수 단위: mm

주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 35 MPa, 압축 90 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.

bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 300 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −40σy​ = 110τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = −40 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 70σy​ = 10τxy​ = −40MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.

σx = 70 MPaσy = 10 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
11.보의 처짐보통
w = 12 kN/mδL = 2.5 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
w = 4 kN/mAB5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 5 mw = 4 kN/m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2.5 m25 × 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 60 kNL = 4 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 60 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 60 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 1.088 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 25·1000/490.9 = 50.93 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 50.93/117000 = 0.0004353 = 435.3 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0004353·2500 mm = 1.088 mm

답

δ = 1.088 mm
2.축 응력과 변형률

답: Pmax = 631.5 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·9346 = 1.263 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.00125, 0.0005) = 0.0005 (구리)

최대 하중

Pmax = 0.0005·1.263 × 10⁹ = 631460 N = 631.5 kN

답

Pmax = 631.5 kN
3.축의 비틀림

답: φ = 2.28 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·251327) = 0.03979 rad
φ = 0.03979·180/π = 2.28°

답

φ = 2.28°
4.축의 비틀림

답: d = 38.26 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 5000/104.7 = 47.75 N·m

강도 기준 지름

T = 47.75 N·m = 47746 N·mm
dτ = ∛(16·47746/(π·75)) = 14.8 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·47746/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 38.26 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(14.8, 38.26) = 38.26 mm

답

d = 38.26 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 3 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 25.83 kN, R2 = 29.17 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 25.83, MC = 49.67, MD = 69.5 kN·m, ME = 50.33, MF = 27.17, MG = 0

답

표시점 D: MD = 69.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 61.25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·3.5 + 4·6·3
RB = 177/6 = 29.5 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 29.5 = 24.5 kN
w = 4 kN/mP = 30 kNABRA​ = 24.5RB​ = 29.5단면3.5 m2.5 m

x = 3.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 24.5·3.5 − 4·3.5·1.75 = 61.25 kN·m

답

Mx = 61.25 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 21.57 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
웨브: Aw = 12·220 = 2640 mm², yw = 220/2 = 110 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·225 + 2640·110)/3840 = 145.9 mm

평행축 정리

플랜지: 120·10³/12 + 1200·(225 − 145.9)² = 7.511 × 10⁶ mm⁴
웨브: 12·220³/12 + 2640·(110 − 145.9)² = 1.406 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.511 × 10⁶ + 1.406 × 10⁷ = 2.157 × 10⁷ mm⁴ = 21.57 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 21.57 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Mallow = 13.32 kN·m

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

도심

ȳ = (4500·312.5 + 4200·150)/8700 = 234.1 mm
윗면 가장자리: c = 325 − 234.1 = 90.95 mm

단면 2차 모멘트

I = 180·25³/12 + 4500·78.45² + 14·300³/12 + 4200·84.05² = 8.91 × 10⁷ mm⁴

각 가장자리가 허용하는 모멘트

정모멘트: 위는 압축, 아래는 인장입니다.

윗면 가장자리: M = 90·8.91 × 10⁷/90.95 = 88.17 kN·m
아랫면 가장자리: M = 35·8.91 × 10⁷/234.1 = 13.32 kN·m

지배 값

Mallow = min = 13.32 kN·m (아랫면 가장자리)

답

Mallow = 13.32 kN·m
9.모어 원과 응력 변환

답: θp = 79.1 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·30, −40 − 110) = 158.2°

요소에서의 각도

θp = 79.1°

답

θp = 79.1°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σvM = 95.39 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 40 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 90 MPa, σ2 = −10 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(90² − 90·(−10) + (−10)²) = 95.39 MPa

답

σvM = 95.39 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 63.41 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·9.24 × 10¹¹) = 63.41 mm

답

δ = 63.41 mm
12.보의 처짐

답: RB = 7.5 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7.5 kN

답

RB = 7.5 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 23.5 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1750² = 23499 N = 23.5 kN

답

Pcr = 23.5 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 49.88 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·60000 = 150000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 49.88 mm

답

d = 49.88 mm

확인: 세장비 KL/r는 160.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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