재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 400 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 75 mm, 안지름 53 mm, 길이 0.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 750 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 1800 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 10 mP₁ = 60 kN 위치 2 mP₂ = 40 kN 위치 3 m

M_max = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 60 kN 위치 1 mw = 10 kN/m, 0부터 6 m까지x = 1 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

200 mm × 300 mm 판에 폭 40 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 180 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 300 mm절취부: 40 × 40 mm구멍 중심: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 10 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 400 mm, 벽 두께 15 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 35°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 400 mmt = 15 mmp = 2.5 MPaα = 35°

σ_n = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θ_A을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 80 kN 위치 2 m

R_B = kN

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 95 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 95 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 36.22 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1257) = 2.17 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/8.282 × 10⁻⁶ = 36224 N = 36.22 kN

답

P = 36.22 kN

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 16.54 MPa

강성

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 80000·706858/1.21 × 10⁶ = 46753 N

응력

σ₂ = 46753/2827 = 16.54 MPa (압축)

답

σ₂ = 16.54 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 0.3544 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

비틀림각

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·500/(26000·2.332 × 10⁶) = 0.006186 rad

φ = 0.006186·180/π = 0.3544°

답

φ = 0.3544°

4.축의 비틀림

답: d = 13.93 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 5000/188.5 = 26.53 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·50)) = 13.93 mm

답

d = 13.93 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 168 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·2 + 40·3

R_B = 240/10 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 24 = 76 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P₁: M = R_A·2 = 76·2 = 152 kN·m

아래 P₂: M = R_B·7 = 24·7 = 168 kN·m

최댓값

M_max = 168 kN·m (아래 P₂)

답

M_max = 168 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 10·6·3

R_B = 240/6 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 40 = 80 kN

x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 80·1 − 10·1·0.5 = 75 kN·m

답

M_x = 75 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 39.8 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

웨브: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·265 + 3120·130)/5120 = 182.7 mm

평행축 정리

플랜지: 200·10³/12 + 2000·(265 − 182.7)² = 1.355 × 10⁷ mm⁴

웨브: 12·260³/12 + 3120·(130 − 182.7)² = 2.625 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.355 × 10⁷ + 2.625 × 10⁷ = 3.98 × 10⁷ mm⁴ = 39.8 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 39.8 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 448.3 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (60000·150 − 1600·180)/(60000 − 1600) = 149.2 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·300³/12 + 60000·0.8219² = 450 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

40·40³/12 + 1600·30.82² = 1.733 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 448.3 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 448.3 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 80.01 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·20, 10 − 120) = 160°

요소에서의 각도

θ_p = 80.01°

답

θ_p = 80.01°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 27.85 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2.5·200/15 = 33.33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16.67 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 16.67·sin²35° + 33.33·cos²35° = 27.85 MPa

답

σ_n = 27.85 MPa

11.보의 처짐

답: θ_A = 0.03676 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θ_A = wL³/(24EI) = 12·5000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.03676 rad

답

θ_A = 0.03676 rad

2.106°입니다.

12.보의 처짐

답: R_B = 25 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

답

R_B = 25 kN

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 319.8 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/1500² = 319848 N = 319.8 kN

답

P_cr = 319.8 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 59.17 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 59.17 mm

답

d = 59.17 mm

확인: 세장비 KL/r는 169이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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