재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 50 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 250 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 15 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 2.5 m 떨어진 B에 토크 400 N·m이(가), 거기서 1.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 250 N·mAB = 2.5 mBC = 1.5 m

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 6 mP₁ = 10 kN 위치 2 mP₂ = 65 kN 위치 4 m

M_max = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 40 kN 위치 1 mw = 4 kN/m, 0부터 6 m까지x = 1 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

120 mm × 200 mm 판에 폭 60 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 80 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 200 mm절취부: 60 × 50 mm구멍 중심: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 400 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 40°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 400 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 I_req을(를) 구하시오.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.3157 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·5890 = 4.752 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 250000·600/4.752 × 10⁸ = 0.3157 mm

답

δ = 0.3157 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ_max = 47.75 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 11.94 MPa

σ₂ = 47.75 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 47.75 MPa

답

σ_max = 47.75 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 20.78 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(26000·79522) = 0.3627 rad

φ = 0.3627·180/π = 20.78°

답

φ = 20.78°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 26.48 MPa

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 400 = 650 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|_max = 650 N·m

τ_max = 16·650000/(π·50³) = 26.48 MPa

답

τ_max = 26.48 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 93.33 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2 + 65·4

R_B = 280/6 = 46.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 46.67 = 28.33 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P₁: M = R_A·2 = 28.33·2 = 56.67 kN·m

아래 P₂: M = R_B·2 = 46.67·2 = 93.33 kN·m

최댓값

M_max = 93.33 kN·m (아래 P₂)

답

M_max = 93.33 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 43.33 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·1 + 4·6·3

R_B = 112/6 = 18.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 18.67 = 45.33 kN

x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 45.33·1 − 4·1·0.5 = 43.33 kN·m

답

M_x = 43.33 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 21.83 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

웨브: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·195 + 1800·90)/10200 = 176.5 mm

평행축 정리

플랜지: 280·30³/12 + 8400·(195 − 176.5)² = 3.514 × 10⁶ mm⁴

웨브: 10·180³/12 + 1800·(90 − 176.5)² = 1.832 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.514 × 10⁶ + 1.832 × 10⁷ = 2.183 × 10⁷ mm⁴ = 21.83 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 21.83 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 78 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (24000·100 − 3000·80)/(24000 − 3000) = 102.9 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·200³/12 + 24000·−2.857² = 80.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

60·50³/12 + 3000·−22.86² = 2.192 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 78 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 78 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 60.83 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((100 − −20)/2)² + −10²) = 60.83 MPa

답

τ_max = 60.83 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 12.31 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2·200/8 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (50 − 25)·sin 40°·cos 40° = 12.31 MPa

답

|τ_n| = 12.31 MPa

11.보의 처짐

답: δ = 6.349 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 6.349 mm

답

δ = 6.349 mm

12.보의 처짐

답: I_req = 532.7 × 10⁶ mm⁴

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·5000⁴/(384·11000·13.89) = 5.327 × 10⁸ mm⁴

I_req = 532.7 × 10⁶ mm⁴

답

I_req = 532.7 × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 2.948 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2500² = 2948 N = 2.948 kN

답

P_cr = 2.948 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 1.974 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/10 = 1000

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1.974 MPa

답

σ_cr = 1.974 MPa

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