재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 150 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN구간 1: Ø30 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

δ = mm

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 100 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 750 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

10 kN @ 2 m25 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 5 mw = 10 kN/m, 2부터 5 m까지

M_max = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 250 mm, 두께 24 mm이고, 전체 높이는 500 mm, 웨브 두께는 12 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 휨의 탄성 단면 계수 S_x을(를) 구하시오.

B = 250 mmH = 500 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

200 mm × 200 mm 판에 폭 50 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 80 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 200 mm절취부: 50 × 40 mm구멍 중심: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 지점 A에서 a = 6.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δ_P을(를) 구하시오.

P = 9 kNa = 6.5 mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.보의 처짐어려움

폭 125 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/360을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 2.5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 125 mm

h_req = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.2377 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·4006 = 3.786 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 150000·600/3.786 × 10⁸ = 0.2377 mm

답

δ = 0.2377 mm

2.축 응력과 변형률

답: δ = 8.236 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 141.5 MPa

σ₂ = 318.3 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 141.5·1000/100000 = 1.415 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 318.3·1500/70000 = 6.821 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8.236 mm

답

δ = 8.236 mm

3.축의 비틀림

답: φ = 6.928 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·79522) = 0.1209 rad

φ = 0.1209·180/π = 6.928°

답

φ = 6.928°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 20.48 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.273 × 10⁶·37.5/2.332 × 10⁶ = 20.48 MPa

답

τ_max = 20.48 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 10 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 12.5 kN, R₂ = 22.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 30, M_D = 35, M_E = 40, M_F = 45 kN·m, M_G = 0

답

표시점 F: M_F = 45 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 22.05 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, 작용점 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3·3.5

R_B = 105/5 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 21 = 9 kN

전단력 0

전단력은 R_A에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 9/10 = 2.9 m

최대 모멘트

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 9·2.9 − 10·0.9²/2 = 22.05 kN·m

답

M_max = 22.05 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: S_x = 3091 × 10³ mm³

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 500 − 2·24 = 452 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·500³ − 238·452³)/12

I_x = 7.726 × 10⁸ mm⁴

단면 계수

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 7.726 × 10⁸/250

S_x = 3.091 × 10⁶ mm³ = 3091 × 10³ mm³

답

S_x = 3091 × 10³ mm³

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 132.2 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (40000·100 − 2000·80)/(40000 − 2000) = 101.1 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·200³/12 + 40000·−1.053² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

50·40³/12 + 2000·−21.05² = 1.153 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 132.2 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 132.2 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 73.15 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·20, 30 − 90) = 146.3°

요소에서의 각도

θ_p = 73.15°

답

θ_p = 73.15°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 90 MPa

변환 식

σ_θ = 70 + 90·0 + −20·−1 = 90 MPa

답

σ_θ = 90 MPa

11.보의 처짐

답: δ_P = 14.15 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 9000 N, a = 6500 mm, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·6500²·1500²/(3·2.52 × 10¹²·8000) = 14.15 mm

답

δ_P = 14.15 mm

12.보의 처짐

답: h_req = 140.3 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2.5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·3000⁴/(384·11000·8.333) = 2.876 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·2.876 × 10⁷/125)^1/3 = 140.3 mm

답

h_req = 140.3 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.525 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/2800² = 3525 N = 3.525 kN

답

P_cr = 3.525 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 62.66 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62.66 MPa

답

σ_cr = 62.66 MPa

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