축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 35 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 250 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 200 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1000 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 5 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 4 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP = 20 kN 위치 4 mw = 3 kN/m, 0부터 5 m까지
MA = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP = 20 kN 위치 2.5 mw = 4 kN/m, 0부터 5 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 45 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
100 mm × 200 mm 판에 폭 60 mm, 높이 30 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 70 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 200 mm절취부: 60 × 30 mm구멍 중심: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 45° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = −60 MPaσy = 90 MPaτxy = −10 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −30 MPaσy = 20 MPaτxy = 10 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 4 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보의 3등분점(각 지점에서 L/3)에 같은 집중 하중 P 두 개가 작용한다. 중첩을 이용해 경간 중앙의 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 26 kNL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 140 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 140 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 2.546 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 35·1000/490.9 = 71.3 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 71.3/70000 = 0.001019 = 1019 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.001019·2500 mm = 2.546 mm
답
δ = 2.546 mm
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 482 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·4006 = 4.218 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.00125, 0.001143) = 0.001143 (알루미늄)
최대 하중
Pmax = 0.001143·4.218 × 10⁸ = 482010 N = 482 kN
답
Pmax = 482 kN
3.축의 비틀림
답: φ = 0.5746 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·613592) = 0.01003 rad
φ = 0.01003·180/π = 0.5746°
답
φ = 0.5746°
4.축의 비틀림
답: d = 18.25 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 5000/104.7 = 47.75 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·47746/(π·40)) = 18.25 mm
답
d = 18.25 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: MA = −117.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −20·4 = −80 kN·m
w: −3·5²/2 = −37.5 kN·m
MA = −80 − 37.5 = −117.5 kN·m
답
MA = −117.5 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 37.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·2.5 + 4·5·2.5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 20·2.5 − 4·2.5·1.25 = 37.5 kN·m
답
Mx = 37.5 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 31.46 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (18000·75 − 1963·45)/(18000 − 1963) = 78.67 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·150³/12 + 18000·−3.673² = 33.99 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·−33.67² = 2.533 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 31.46 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 31.46 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 64.75 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (20000·100 − 1800·70)/(20000 − 1800) = 103 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·200³/12 + 20000·−2.967² = 66.84 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
60·30³/12 + 1800·−32.97² = 2.091 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 64.75 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 64.75 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 5 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 15 − (−75)·0 − (−10)·(−1) = 5 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = 25 MPa, σx′ + σy′ = 30 = σx + σy
답
σy′ = 5 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 5 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = −5 + −25·0 + 10·1 = 5 MPa
답
σθ = 5 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 2.422 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 2.422 mm
답
δmax = 2.422 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 48.06 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 26000 N, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
L/3의 하중 하나
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 24.03 mm
두 하중 더하기
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 48.06 mm
답
δmax = 48.06 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 5.14 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·5000 = 5000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/5000² = 5140 N = 5.14 kN
답
Pcr = 5.14 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 79.03 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 79.03 mm
답
d = 79.03 mm
확인: 세장비 KL/r는 151.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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