재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 50 kN구간 1: Ø35 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 100 N·md = 20 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 3000 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

55 kN @ 3 m20 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

30 kN @ 0 m45 kN @ 12 m10 kN @ 8 m10 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

200 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 144 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 240 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 30 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = −80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

폭 50 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 1 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 50 mm

h_req = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 56.87 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4.547 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/8.791 × 10⁻⁶ = 56874 N = 56.87 kN

답

P = 56.87 kN

2.축 응력과 변형률

답: σ_max = 159.2 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 51.97 MPa

σ₂ = 159.2 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 159.2 MPa

답

σ_max = 159.2 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 14.03 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·15708) = 0.2449 rad

φ = 0.2449·180/π = 14.03°

답

φ = 14.03°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 4.182 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 238732·37.5/2.141 × 10⁶ = 4.182 MPa

답

τ_max = 4.182 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 3 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 30.83 kN, R₂ = 44.17 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 30.83, M_C = 61.67, M_D = 92.5 kN·m, M_E = 68.33, M_F = 44.17, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 92.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 10 m)

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 68.75 kN, R₂ = 96.25 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −2.5, M_D = 15, M_E = −7.5, M_F = −90 kN·m, M_G = 0

답

표시점 F: M_F = −90 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 229.9 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (48000·120 − 706.9·144)/(48000 − 706.9) = 119.6 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·240³/12 + 48000·0.3587² = 230.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·30⁴/64 + 706.9·24.36² = 0.4592 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 229.9 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 229.9 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 136.7 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272.5 mm

웨브: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·272.5 + 2600·130)/7100 = 220.3 mm

평행축 정리

플랜지: 180·25³/12 + 4500·(272.5 − 220.3)² = 1.249 × 10⁷ mm⁴

웨브: 10·260³/12 + 2600·(130 − 220.3)² = 3.586 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.249 × 10⁷ + 3.586 × 10⁷ = 4.834 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 220.3 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·220.3/4.834 × 10⁷ = 136.7 MPa

답

σ_아래 = 136.7 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 30.41 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((90 − 100)/2)² + 30²) = 30.41 MPa

답

τ_max = 30.41 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 133 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = −15 MPa, R = 76.32 MPa

σ₁ = 61.32 MPa, σ₂ = −91.32 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(61.32² − 61.32·(−91.32) + (−91.32)²) = 133 MPa

답

σ_vM = 133 MPa

11.보의 처짐

답: δ_max = 2.996 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 2.996 mm

답

δ_max = 2.996 mm

12.보의 처짐

답: h_req = 186.4 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·18) = 2.697 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·2.697 × 10⁷/50)^1/3 = 186.4 mm

답

h_req = 186.4 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 6.218 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/5000² = 6218 N = 6.218 kN

답

P_cr = 6.218 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 2.763 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2.763 MPa

답

σ_cr = 2.763 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials