재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
100 kNØ25100 GPaØ100/50600 mmδ = ?

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
100 kN12300 mm400 mmØ25Ø40σ2​ = ?

강철 구간(지름 25 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 100 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
T = 100 N·md = 50 mmL = 1.5 mφ = ?

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 100 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
do​ = ?10 kW, 500 rpm

중공축이 500 rpm에서 10 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 500 rpmdi/do = 0.5τallow = 75 MPa
do = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 5 kN/mP = 60 kNAB0.5 m2 m

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 0.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 2.5 mP = 60 kN 위치 0.5 mw = 5 kN/m, 0부터 2.5 m까지
MA = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 8 kN/mP = 20 kNAB단면0.5 m4.5 m1 m

지점 A에서 x = 0.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 20 kN 위치 5 mw = 8 kN/m, 0부터 6 m까지x = 0.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
180360246x치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 180 mm, 두께 24 mm이고, 전체 높이는 360 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 휨의 탄성 단면 계수 Sx을(를) 구하시오.

B = 180 mmH = 360 mmtf = 24 mmtw = 6 mm
Sx = × 10³ mm³
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2601024020x부모멘트 M치수 단위: mm

주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 35 MPa, 압축 150 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 부(負) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오(크기로 답하시오).

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 240 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 140σy​ = 110τxy​ = 60MPa

한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 50° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.

σx = 140 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​τxy​축의 표면

지름 50 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 160 kN와(과) 토크 2000 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.

d = 50 mmF = −160 kNT = 2000 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
w = 6 kN/mδL = 1.5 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
w = 4 kN/mAB3 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 3 mw = 4 kN/m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 4 m25 × 50 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 1.5 md = 20 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.08731 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·5890 = 6.872 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 100000·600/6.872 × 10⁸ = 0.08731 mm

답

δ = 0.08731 mm
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 31.98 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 100000·219911/547161 = 40191 N

응력

σ2 = 40191/1257 = 31.98 MPa (압축)

답

σ2 = 31.98 MPa
3.축의 비틀림

답: φ = 0.5387 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·613592) = 0.009402 rad
φ = 0.009402·180/π = 0.5387°

답

φ = 0.5387°
4.축의 비틀림

답: do = 24.01 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·75·0.9375)) = 24.01 mm
di = 0.5·24.01 = 12 mm

답

do = 24.01 mm

속이 찬 축이라면 d = 23.49 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: MA = −45.63 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −60·0.5 = −30 kN·m
w: −5·2.5²/2 = −15.63 kN·m
MA = −30 − 15.63 = −45.63 kN·m

답

MA = −45.63 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 12.67 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·5 + 8·6·3
RB = 244/6 = 40.67 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 40.67 = 27.33 kN
w = 8 kN/mP = 20 kNABRA​ = 27.33RB​ = 40.67단면0.5 m4.5 m1 m

x = 0.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 27.33·0.5 − 8·0.5·0.25 = 12.67 kN·m

답

Mx = 12.67 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Sx = 1441 × 10³ mm³

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 360 − 2·24 = 312 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·360³ − 174·312³)/12
Ix = 2.595 × 10⁸ mm⁴

단면 계수

c = H/2 = 180 mm
Sx = I/c = 2.595 × 10⁸/180
Sx = 1.441 × 10⁶ mm³ = 1441 × 10³ mm³

답

Sx = 1441 × 10³ mm³
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Mallow = 20.09 kN·m

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

도심

ȳ = (2600·245 + 4800·120)/7400 = 163.9 mm
윗면 가장자리: c = 250 − 163.9 = 86.08 mm

단면 2차 모멘트

I = 260·10³/12 + 2600·81.08² + 20·240³/12 + 4800·43.92² = 4.941 × 10⁷ mm⁴

각 가장자리가 허용하는 모멘트

부모멘트: 위는 인장, 아래는 압축입니다.

윗면 가장자리: M = 35·4.941 × 10⁷/86.08 = 20.09 kN·m
아랫면 가장자리: M = 150·4.941 × 10⁷/163.9 = 45.22 kN·m

지배 값

Mallow = min = 20.09 kN·m (윗면 가장자리)

답

Mallow = 20.09 kN·m
9.모어 원과 응력 변환

답: σy′ = 68.52 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σy′ = 125 − 15·(−0.1736) − 60·0.9848 = 68.52 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σx′ = 181.5 MPa, σx′ + σy′ = 250 = σx + σy

답

σy′ = 68.52 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σ1 = 50.36 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = F/A = −160000/(π·50²/4) = −160000/1963 = −81.49 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81.49 MPa
στxyCσ1​σ2​

모어 원

C = σ/2 = −40.74 MPa
R = √((−40.74)² + 81.49²) = 91.11 MPa
σ1 = C + R = 50.36 MPa
σ2 = C − R = −131.8 MPa

답

σ1 = 50.36 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 2.157 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 2.157 mm

답

δ = 2.157 mm
12.보의 처짐

답: RB = 4.5 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4.5 kN

답

RB = 4.5 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 11.24 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2000² = 11245 N = 11.24 kN

답

Pcr = 11.24 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 21.93 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/5 = 300

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

답

σcr = 21.93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials