재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 12 mm황동2.5 mP = 110 kN

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 110 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø40100 GPaØ120/50800 mm

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa, 허용응력 70 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
d = 10 mmT = 30 N·m250 mmφ = 11.22°

비틀림 시험에서 지름 10 mm인 속이 찬 시편에 토크 30 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 11.22° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 30 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 11.22°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1800 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
25 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

25 kN @ 1 m45 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
15 kN/m55 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

55 kN @ 6 m20 kN @ 1 m15 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
150200208x치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 150 mm, 두께 20 mm이고, 전체 높이는 200 mm, 웨브 두께는 8 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

B = 150 mmH = 200 mmtf = 20 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1304602210xM = 40 kN·m치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 130 mm, 두께 22 mm이고, 전체 높이는 460 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 웨브와 상부 플랜지가 만나는 곳의 휨 응력 크기 σj을(를) 구하시오.

B = 130 mmH = 460 mmtf = 22 mmtw = 10 mmM = 40 kN·m
σj = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −80σy​ = 110τxy​ = 40MPa

한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = −80 MPaσy = 110 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −30σy​ = 20τxy​ = 60MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = −30 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 12 kN/mδL = 6 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
w = 8 kN/mδL = 4 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (강철)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
PL = 1 md = 30 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 30 kNL = 6 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 9726 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/113.1 = 972.6 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 972.6/100000 = 0.009726 = 9726 µε

답

ε = 9726 µε
2.축 응력과 변형률

답: Pmax = 830.2 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1.186 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.0007) = 0.0007 (황동)

최대 하중

Pmax = 0.0007·1.186 × 10⁹ = 830166 N = 830.2 kN

답

Pmax = 830.2 kN
3.축의 비틀림

답: G = 39.01 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 11.22·π/180 = 0.1958 rad

전단 탄성 계수

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·250/(981.7·0.1958) = 39011 MPa
G = 39.01 GPa

답

G = 39.01 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: d = 11.91 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 5000/188.5 = 26.53 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·26526/(π·80)) = 11.91 mm

답

d = 11.91 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 3 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 43.33 kN, R2 = 26.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 43.33, MC = 61.67, MD = 80 kN·m, ME = 53.33, MF = 26.67, MG = 0

답

표시점 D: MD = 80 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 17.5 kN, R2 = 117.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 10, MC = −15, MD = −55, ME = −110 kN·m, MF = −55, MG = 0

답

표시점 E: ME = −110 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 51.53 × 10⁶ mm⁴

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 200 − 2·20 = 160 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·200³ − 142·160³)/12
Ix = 5.153 × 10⁷ mm⁴ = 51.53 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 51.53 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σj = 24.87 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 460 − 2·22 = 416 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (130·460³ − 120·416³)/12
Ix = 3.346 × 10⁸ mm⁴

휨 응력

y = 230 − 22 = 208 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·208/3.346 × 10⁸ = 24.87 MPa

답

σj = 24.87 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: θs = 33.58 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = 40/103.1 = 0.3881, sin 2θs = −(−95)/103.1 = 0.9216
2θs = atan2(95, 40) = 67.17°

요소에서의 각도

θs = 33.58°
검산: θs − θp = 33.58 − 78.58 = −45°

답

θs = 33.58°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 3.349 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = −5 + −25·0.866 + 60·0.5 = 3.349 MPa

답

σθ = 3.349 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 60.75 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 12·6000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 60.75 mm

답

δ = 60.75 mm
12.보의 처짐

답: Ireq = 12 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·4000⁴/(384·200000·11.11) = 1.2 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 12 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 12 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 56.06 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·1000 = 700 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/700² = 56060 N = 56.06 kN

답

Pcr = 56.06 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 68.71 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 68.71 mm

답

d = 68.71 mm

확인: 세장비 KL/r는 349.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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