재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
100 kNØ40100 GPaØ120/50400 mmδ = ?

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
50 kN12300 mm300 mmØ25Ø40σ2​ = ?

강철 구간(지름 25 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 50 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 500 N·m

중공축이 토크 500 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 500 N·mdi/do = 0.75τallow = 75 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1450 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 5 kN/mAB단면3 m1 m

지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mw = 5 kN/m, 0부터 4 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
4 kN/m15 kN55 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

15 kN @ 0 m55 kN @ 6 m55 kN @ 2 m4 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
26090t = 12x치수 단위: mm

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 260 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 90 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 12 mm이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 260 mmh = 90 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
190440106xM = 60 kN·m치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 190 mm, 두께 10 mm이고, 전체 높이는 440 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 60 kN·m을(를) 받는다. 웨브와 상부 플랜지가 만나는 곳의 휨 응력 크기 σj을(를) 구하시오.

B = 190 mmH = 440 mmtf = 10 mmtw = 6 mmM = 60 kN·m
σj = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −30σy​ = −20τxy​ = −30MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −30 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = −30 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −80σy​ = 60τxy​ = 50MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = −80 MPaσy = 60 MPaτxy = 50 MPaσY = 250 MPa
n =
11.보의 처짐보통
P = 22 kNABδ1.5 m2.5 m

단순보의 지점 A에서 a = 1.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 22 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
w = 2 kN/mδL = 6 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
PL = 4 md = 30 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 115 kNL = 4 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 115 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 115 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.03373 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1.186 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 100000·400/1.186 × 10⁹ = 0.03373 mm

답

δ = 0.03373 mm
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 24.1 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 120000·1257/300 = 502655 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 50000·502655/829904 = 30284 N

응력

σ2 = 30284/1257 = 24.1 MPa (압축)

답

σ2 = 24.1 MPa
3.축의 비틀림

답: do = 36.76 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0.6836)) = 36.76 mm
di = 0.75·36.76 = 27.57 mm

답

do = 36.76 mm

속이 찬 축이라면 d = 32.38 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: d = 20.76 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·131714/(π·75)) = 20.76 mm

답

d = 20.76 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 7.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·4·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10단면3 m1 m

x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 10·3 − 5·3·1.5 = 7.5 kN·m

답

Mx = 7.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: F (x = 5 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 54.25 kN, R2 = 86.75 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −15, MC = 22.25, MD = 0.5, ME = −25.25, MF = −55 kN·m, MG = 0

답

표시점 F: MF = −55 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 3.356 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A1 = 260·12 = 3120 mm², y1 = 6 mm
두 다리: A2 = 2·12·78 = 1872 mm², y2 = 12 + 78/2 = 51 mm

도심

ȳ = (3120·6 + 1872·51)/4992 = 22.88 mm

평행축 정리

기제: 260·12³/12 + 3120·(6 − 22.88)² = 925909 mm⁴
두 다리: 2·12·78³/12 + 1872·(51 − 22.88)² = 2.43 × 10⁶ mm⁴
Ix = 925909 + 2.43 × 10⁶
Ix = 3.356 × 10⁶ mm⁴ = 3.356 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 3.356 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σj = 59.23 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 440 − 2·10 = 420 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·440³ − 184·420³)/12
Ix = 2.127 × 10⁸ mm⁴

휨 응력

y = 220 − 10 = 210 mm
σ = M·y/I = 6 × 10⁷·210/2.127 × 10⁸ = 59.23 MPa

답

σj = 59.23 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 30.41 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

στxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = −25 MPa, R = √((−5)² + (−30)²) = 30.41 MPa
σ1 = 5.414 MPa, σ2 = −55.41 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(60.83, 5.414, 55.41)/2 = 30.41 MPa

답

τabs = 30.41 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.674

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = −10 MPa, R = 86.02 MPa
σ1 = 76.02 MPa, σ2 = −96.02 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(76.02² − 76.02·(−96.02) + (−96.02)²) = 149.3 MPa
n = 250/149.3 = 1.674

답

n = 1.674

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: δP = 2.262 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 22000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa²b²/(3EIL) = 22000·1500²·2500²/(3·1.14 × 10¹³·4000) = 2.262 mm

답

δP = 2.262 mm
12.보의 처짐

답: Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.893 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 6.867 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6.867 kN

답

Pcr = 6.867 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 55.51 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 55.51 mm

답

d = 55.51 mm

확인: 세장비 KL/r는 144.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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