축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 45 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 30 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 30 mm, 길이 3 m이고, 구간 BC는 지름 20 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 100 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 100 N·md1 = 30 mm, L1 = 3 md2 = 20 mm, L2 = 0.8 mG = 26 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 알루미늄 축이 500 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0.75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 4 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 1.5 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mP = 25 kN 위치 4 mw = 6 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
50 kN @ 0 m35 kN @ 12 m40 kN @ 4 m12 kN/m, 2–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 45 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm × 240 mm 판에 폭 40 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 168 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 240 mm절취부: 40 × 40 mm구멍 중심: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 160 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 160 MPaσy = 0 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 10 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 300 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = 10 MPaσy = −40 MPaτxy = 10 MPaσY = 300 MPa
n =
11.보의 처짐보통
길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δB을(를) 구하시오.
P = 22 kNa = 1 mL = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 8 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 2.238 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 45·1000/201.1 = 223.8 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 223.8/100000 = 0.002238 = 2238 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.002238·1000 mm = 2.238 mm
답
δ = 2.238 mm
2.축 응력과 변형률
답: δ = 4.59 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 61.12 MPa
σ2 = 265.3 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 61.12·1000/100000 = 0.6112 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265.3·1500/100000 = 3.979 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.59 mm
답
δ = 4.59 mm
3.축의 비틀림
답: φC = 19.54 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J1 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
각 구간의 비틀림각
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 100000·3000/(26000·79522) = 0.1451 rad
φBC = 100000·800/(26000·15708) = 0.1959 rad
전체 비틀림각
φC = 0.1451 + 0.1959 = 0.341 rad = 19.54°
답
φC = 19.54°
4.축의 비틀림
답: d = 80.92 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m
강도 기준 지름
T = 1432 N·m = 1.432 × 10⁶ N·mm
dτ = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·80)) = 45.01 mm
강성 기준 지름
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·1.432 × 10⁶/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 80.92 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(45.01, 80.92) = 80.92 mm
답
d = 80.92 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −81.25 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −25·2.5 = −62.5 kN·m
w: −6·2.5²/2 = −18.75 kN·m
Mx = −62.5 − 18.75 = −81.25 kN·m
답
Mx = −81.25 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
6.전단력과 휨 모멘트
답: B (x = 2 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 131.8 kN, R2 = 89.25 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −100 kN·m, MC = 39.5, MD = 51, ME = 14.5, MF = −70, MG = 0
답
표시점 B: MB = −100 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 32.41 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (18000·75 − 1257·45)/(18000 − 1257) = 77.25 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·150³/12 + 18000·−2.252² = 33.84 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·40⁴/64 + 1257·−32.25² = 1.433 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 32.41 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 32.41 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 134.1 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (28800·120 − 1600·168)/(28800 − 1600) = 117.2 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·240³/12 + 28800·2.824² = 138.5 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
40·40³/12 + 1600·50.82² = 4.346 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 134.1 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 134.1 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 100 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((160 − 0)/2)² + −60²) = 100 MPa
답
τmax = 100 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: n = 5.571
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = −15 MPa, R = 26.93 MPa
σ1 = 11.93 MPa, σ2 = −41.93 MPa, σ3 = 0
트레스카
σmax − σmin = 53.85 MPa
n = 300/53.85 = 5.571
답
n = 5.571
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
11.보의 처짐
답: δB = 2.128 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 22000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
자유단의 처짐
하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.
δP = Pa³/(3EI) = 0.6548 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.0009821 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.128 mm
답
δB = 2.128 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 11.51 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·1500⁴/(384·11000·4.167) = 1.151 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 11.51 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 11.51 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 67.29 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·1500 = 750 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/750² = 67288 N = 67.29 kN
답
Pcr = 67.29 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 100.7 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/12.5 = 140
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa
답
σcr = 100.7 MPa
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