축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 95 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 40 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 200 N·md = 25 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 40 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.5 m 떨어진 B에 토크 1000 N·m이(가), 거기서 2.5 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 100 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 40 mmTB = 1000 N·mTC = 100 N·mAB = 1.5 mBC = 2.5 m
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
60 kN @ 6 m25 kN @ 8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 5.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mP = 60 kN 위치 4.5 mw = 4 kN/m, 0부터 6 m까지x = 5.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 120 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 170 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 8 mm이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 170 mmt = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.
bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 180 mmM = 25 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 30 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
지름 60 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 190 kN와(과) 토크 2000 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 60 mmF = −190 kNT = 2000 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.
L = 5 mP = 15 kN 위치 2.5 m
MA = kN·m
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 6.3 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 95·1000/113.1 = 840 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 840/200000 = 0.0042 = 4200 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.0042·1500 mm = 6.3 mm
답
δ = 6.3 mm
2.축 응력과 변형률
답: σ2 = 6.095 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 100000·2827/500 = 565487 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 30000·565487/984366 = 17234 N
응력
σ2 = 17234/2827 = 6.095 MPa (압축)
답
σ2 = 6.095 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 19.15 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·38350) = 0.3343 rad
φ = 0.3343·180/π = 19.15°
답
φ = 19.15°
4.축의 비틀림
답: τmax = 71.62 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
내부 토크
TC의 방향을 양으로 잡습니다.
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 1000 = −900 N·m
최대 전단 응력
내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).
|T|max = 900 N·m
τmax = 16·900000/(π·40³) = 71.62 MPa
답
τmax = 71.62 MPa
5.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 6 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 38.33 kN, R2 = 46.67 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 76.67, MC = 153.3, MD = 230 kN·m, ME = 186.7, MF = 93.33, MG = 0
답
표시점 D: MD = 230 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 28 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·4.5 + 4·6·3
RB = 342/6 = 57 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 57 = 27 kN
x = 5.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 27·5.5 − 60·(5.5 − 4.5) − 4·5.5·2.75 = 28 kN·m
답
Mx = 28 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 10.74 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
직사각형으로 나누기
밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.
기제: A1 = 120·8 = 960 mm², y1 = 4 mm
두 다리: A2 = 2·8·162 = 2592 mm², y2 = 8 + 162/2 = 89 mm
도심
ȳ = (960·4 + 2592·89)/3552 = 66.03 mm
평행축 정리
기제: 120·8³/12 + 960·(4 − 66.03)² = 3.699 × 10⁶ mm⁴
두 다리: 2·8·162³/12 + 2592·(89 − 66.03)² = 7.037 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.699 × 10⁶ + 7.037 × 10⁶
Ix = 1.074 × 10⁷ mm⁴ = 10.74 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 10.74 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ아래 = 154.5 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
웨브: Aw = 14·180 = 2520 mm², yw = 180/2 = 90 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·195 + 2520·90)/7920 = 161.6 mm
평행축 정리
플랜지: 180·30³/12 + 5400·(195 − 161.6)² = 6.432 × 10⁶ mm⁴
웨브: 14·180³/12 + 2520·(90 − 161.6)² = 1.972 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.432 × 10⁶ + 1.972 × 10⁷ = 2.615 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.
y = 161.6 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·161.6/2.615 × 10⁷ = 154.5 MPa
답
σ아래 = 154.5 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = 76.72 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·20, 30 − 110) = 153.4°
요소에서의 각도
θp = 76.72°
답
θp = 76.72°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 24.3 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −190000/(π·60²/4) = −190000/2827 = −67.2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47.16 MPa
모어 원
C = σ/2 = −33.6 MPa
R = √((−33.6)² + 47.16²) = 57.9 MPa
σ1 = C + R = 24.3 MPa
σ2 = C − R = −91.5 MPa
답
σ1 = 24.3 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 18.08 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
처짐
δ = wL⁴/(8EI) = 20·3000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 18.08 mm
답
δ = 18.08 mm
12.보의 처짐
답: MA = 14.06 kN·m
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).
받침 제거
받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
받침에서의 적합 조건
받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·15/16 = 4.688 kN
고정단의 모멘트
하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.
MA = P·L/2 − RB·L = 37.5 − 23.44 = 14.06 kN·m
답
MA = 14.06 kN·m
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 36.85 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·1000 = 1000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1000² = 36847 N = 36.85 kN
답
Pcr = 36.85 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 126.3 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126.3 MPa
답
σcr = 126.3 MPa
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