재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 2 m, B에서 2.5 m 떨어진 C에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 50 mmT₀ = 750 N·ma = 2 mb = 2.5 m

T_A = N·m

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

40 kN @ 6 m5 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 20 kN 위치 3 mw = 6 kN/m, 0부터 8 m까지

M_max = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 160 mm, 두께 16 mm이고, 전체 높이는 480 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 150 kN·m을(를) 받는다. 웨브와 상부 플랜지가 만나는 곳의 휨 응력 크기 σ_j을(를) 구하시오.

B = 160 mmH = 480 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 30° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

지름 30 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 100 N·m와(과) 토크 750 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 I_req을(를) 구하시오.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (강철)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 110 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 110 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 39.22 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706.9) = 5.659 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/7.648 × 10⁻⁶ = 39225 N = 39.22 kN

답

P = 39.22 kN

2.축 응력과 변형률

답: δ = 8.091 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 707.4 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 163·2000/117000 = 2.786 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707.4·1500/200000 = 5.305 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8.091 mm

답

δ = 8.091 mm

3.축의 비틀림

답: φ = 4.676 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(39000·251327) = 0.08162 rad

φ = 0.08162·180/π = 4.676°

답

φ = 4.676°

4.축의 비틀림

답: T_A = 416.7 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·2.5/4.5 = 416.7 N·m

T_B = 750·2/4.5 = 333.3 N·m

답

T_A = 416.7 N·m

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 6 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 30 kN, R₂ = 30 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 60, M_C = 120, M_D = 170 kN·m, M_E = 120, M_F = 60, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 170 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 82.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, 작용점 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 6·8·4

R_B = 252/8 = 31.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 31.5 = 36.5 kN

V = 0인 곳은?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 18.5 kN

V(3⁺) = 18.5 − 20 = −1.5 kN

전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 36.5·3 − 6·3²/2 = 82.5 kN·m

답

M_max = 82.5 kN·m

A에서 x = 3 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 51.19 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

웨브: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·265 + 4160·130)/6560 = 179.4 mm

평행축 정리

플랜지: 240·10³/12 + 2400·(265 − 179.4)² = 1.761 × 10⁷ mm⁴

웨브: 16·260³/12 + 4160·(130 − 179.4)² = 3.358 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.761 × 10⁷ + 3.358 × 10⁷ = 5.119 × 10⁷ mm⁴ = 51.19 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 51.19 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_j = 104.8 MPa

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 480 − 2·16 = 448 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·480³ − 154·448³)/12

I_x = 3.206 × 10⁸ mm⁴

휨 응력

y = 240 − 16 = 224 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁸·224/3.206 × 10⁸ = 104.8 MPa

답

σ_j = 104.8 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = 92.32 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 50 − (−50)·0.5 − (−20)·0.866 = 92.32 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 7.679 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = 92.32 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 161.6 MPa

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37.73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141.5 MPa

모어 원

C = σ/2 = 18.86 MPa

R = √(18.86² + 141.5²) = 142.7 MPa

σ₁ = C + R = 161.6 MPa

σ₂ = C − R = −123.9 MPa

답

σ₁ = 161.6 MPa

11.보의 처짐

답: δ = 23.97 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·3.96 × 10¹¹) = 23.97 mm

답

δ = 23.97 mm

12.보의 처짐

답: I_req = 22.5 × 10⁶ mm⁴

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·200000·11.11) = 2.25 × 10⁷ mm⁴

I_req = 22.5 × 10⁶ mm⁴

답

I_req = 22.5 × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 13.25 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13.25 kN

답

P_cr = 13.25 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 78.99 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 78.99 mm

답

d = 78.99 mm

확인: 세장비 KL/r는 101.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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