재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 12 mm알루미늄1.5 mP = 25 kN

알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 25 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm구리0.5 mØ 12 mm알루미늄1 mP = 50 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 50 kN구간 1: Ø40 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
T = 250 N·md = 40 mmL = 1.2 mφ = ?

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 40 mm, di​ = 24 mm

속이 빈 축이 1450 rpm에서 5 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 1450 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
40 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

40 kN @ 4 m45 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 10 kN/mABC5 m1 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 MB을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mw = 10 kN/m, 0부터 6 m까지x = 0과 x = 5 m에 지점
MB = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
xD = 300d = 276치수 단위: mm

원형 관의 바깥지름은 D = 300 mm, 안지름은 d = 276 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

D = 300 mmd = 276 mm
r = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
180290142102216x치수 단위: mm

용접 I형 단면의 상부 플랜지는 180 × 14 mm, 웨브는 높이 210 mm, 두께 16 mm, 하부 플랜지는 290 × 22 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

상부 플랜지: 180 × 14 mm웨브: 16 × 210 mm하부 플랜지: 290 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 160σy​ = 90τxy​ = 10MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 10 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = 160 MPaσy = 90 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −50σy​ = 80τxy​ = 40MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 40° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = −50 MPaσy = 80 MPaτxy = 40 MPaθ = 40°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
P = 12 kNABδ5 m1 m

단순보의 지점 A에서 a = 5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 12 kNa = 5 mL = 6 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
w = 8 kN/mδL = 2 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
PL = 1.5 md = 25 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
PL = 3 md = 40 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
σcr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 3158 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 25·1000/113.1 = 221 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 221/70000 = 0.003158 = 3158 µε

답

ε = 3158 µε
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 442.1 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 39.79 MPa
σ2 = 442.1 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 442.1 MPa

답

σmax = 442.1 MPa
3.축의 비틀림

답: φ = 1.754 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·251327) = 0.03061 rad
φ = 0.03061·180/π = 1.754°

답

φ = 1.754°
4.축의 비틀림

답: τmax = 3.011 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 5000/151.8 = 32.93 N·m

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 32929·20/218755 = 3.011 MPa

답

τmax = 3.011 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: C (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 34.17 kN, R2 = 50.83 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 68.33, MC = 136.7 kN·m, MD = 125, ME = 113.3, MF = 101.7, MG = 0

답

표시점 C: MC = 136.7 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: MB = −5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·6·3
RB = 180/5 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 36 = 24 kN

B에서 자르고 내민 부분을 남긴다

내민 부분의 하중 w·a는 B에서 a/2인 곳에 작용하며, 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).

MB = −w·a²/2 = −10·1²/2 = −5 kN·m

답

MB = −5 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 101.9 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

A = π(D² − d²)/4 = 10857 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.128 × 10⁸ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(1.128 × 10⁸/10857) = 101.9 mm

답

r = 101.9 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 113 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

세 개의 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

상부 플랜지: A = 2520 mm², y = 239 mm
웨브: A = 3360 mm², y = 127 mm
하부 플랜지: A = 6380 mm², y = 11 mm

도심

ȳ = (2520·239 + 3360·127 + 6380·11)/12260 = 89.66 mm

평행축 정리

상부 플랜지: 180·14³/12 + 2520·149.3² = 5.625 × 10⁷ mm⁴
웨브: 16·210³/12 + 3360·37.34² = 1.703 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 290·22³/12 + 6380·78.66² = 3.973 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.625 × 10⁷ + 1.703 × 10⁷ + 3.973 × 10⁷
Ix = 1.13 × 10⁸ mm⁴ = 113 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 113 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 80.7 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

σxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = 125 MPa, R = √(35² + 10²) = 36.4 MPa
σ1 = 161.4 MPa, σ2 = 88.6 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(72.8, 161.4, 88.6)/2 = 80.7 MPa

답

τabs = 80.7 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 43.11 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 15 + −65·0.1736 + 40·0.9848 = 43.11 MPa

답

σθ = 43.11 MPa
11.보의 처짐

답: δP = 18.04 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 12000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa²b²/(3EIL) = 12000·5000²·1000²/(3·9.24 × 10¹¹·6000) = 18.04 mm

답

δP = 18.04 mm
12.보의 처짐

답: Ireq = 27.27 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·2000⁴/(384·11000·5.556) = 2.727 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 27.27 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 27.27 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 5.888 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5.888 kN

답

Pcr = 5.888 kN
14.기둥의 좌굴

답: σcr = 30.71 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/10 = 150

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa

답

σcr = 30.71 MPa

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